¿Cómo los Postulados de Peano construir los números Naturales sólo?

Question

Estoy empezando análisis real y se quedó atascado en la primera página (Postulados de Peano). Se lee como sigue, al menos en mi libro de texto.

Axioma 1.2.1 (Postulados De Peano). Existe un conjunto $\Bbb N$ con un elemento $1 \in \Bbb N$ y una función de $s:\Bbb N \to \Bbb N$ que satisface las tres propiedades siguientes.

una. No es $n \in \Bbb N$ tal que $s(n) = 1$.

b. La función de $s$ es inyectiva.

c. Deje $G \subseteq \Bbb N$ ser un conjunto. Supongamos que $1 \in G$, y que $g \in G \Rightarrow s(g) \in G$. A continuación, $G = \Bbb N$.

Definición 1.2.2. El conjunto de los números naturales, que se denota $\Bbb N$, es la de establecer la existencia de la que se da en los Postulados de Peano.

Mi pregunta es: Desde mi comprensión de los postulados, se podría construir un conjunto infinito que satisface las tres propiedades. Por ejemplo, los números impares $\{1,3,5,7, \ldots \}$, o de los poderes de 5 $\{1,5,25,625 \ldots \}$, podría ser construido (con diferentes $s(n)$, por supuesto, ya que $s(n)$ no está definido en los postulados de todos modos). ¿Cómo estas propiedades de identificar el conjunto de los números naturales?

Answer 1

Sí, usted puede encontrar otros juegos en los que un sucesor función está definida que satisface todos los axiomas de Peano.

Lo que hace que los números naturales único es que usted puede utilizar los postulados de Peano para demostrar que cuando se tienen dos conjuntos se puede construir un bijection entre ellos que se asigna una función sucesor para el otro. Eso significa que los juegos son realmente "el mismo" - los elementos tienen nombres diferentes.

Así que usted podría utilizar los nombres tradicionales $ 1, 2, 3,\ldots$.

Answer 2

Este axiomas para definir los números naturales hasta el isomorfismo; es decir, a dar otro sistema de Peano $S$, siempre hay un bijective función de $f: \mathbb{N}\to S$ tal que $f(s(n))=s_1(f(n)); f(1)=1_S$. De este modo se supone que a partir de la Peano estructura del punto de vista, los dos son iguales. Dado $1, 1_S$, se puede identificar como la igualdad de los dos de ellos y los otros números, como si llamamos a los números naturales con diferentes símbolos $1_S$ , en cambio, que $1$, pero la estructura es la misma (este teorema puede en realidad ser formalmente demostrado mediante el principio de la recursividad)

Una pequeña nota, sin embargo: este isomorfismo a veces no es muy evidente final extremadamente útil. Por ejemplo, $\mathbb{N}^2$ puede ser dada una estructura de Peano, y esto puede ser identificado con $\mathbb{N}$ por medio de un isomorhpism (es decir, el Cantor de vinculación de la función), que es altamente no trivial.