Distribución para reflejar la situación en la que algunas esperas nos llevan a esperar más esperas

Question

Al leer las notas de Blake Master sobre la conferencia de Peter Thiel sobre las start ups, me encontré con esta metáfora de la frontera tecnológica:

Imagina que el mundo está cubierto por estanques, lagos y océanos. Usted está en un barco, en una masa de agua. Pero hay mucha niebla, así que no sabes no sabes qué distancia hay hasta el otro lado. No sabes si estás en un estanque, un lago o un océano.

Si estás en un estanque, puedes esperar que la travesía dure aproximadamente una hora. Así que si has estado fuera un día entero, estás en un lago o en un océano. Si llevas un año fuera, estás cruzando un océano. El más largo sea el viaje, más larga será la duración del viaje restante. Es cierto que estás más cerca de llegar al otro lado a medida que pasa el tiempo. Pero en este caso, el paso del tiempo también es indicativo de que aún te queda bastante camino por recorrer.

Mi pregunta: ¿hay alguna distribución de probabilidad o marco estadístico que modele mejor esta situación, especialmente la parte en negrita?

Answer 1

La respuesta de bnaul da la propiedad general que buscas. Sin embargo, en lugar de una distribución de Weibull, yo sugeriría la Distribución de Pareto como el mejor ejemplo. El pdf general es $$ f(x) = \frac{\alpha x_m}{x^{\alpha - 1}} $$ con apoyo $[x_m, \infty)$ y $\alpha>0$ . Esto tiene la agradable propiedad de que la condicionalidad de $x>y$ la distribución tiene el mismo parámetro de forma, pero con $y$ como el nuevo mínimo.

La distribución tiene $E[x] = \frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}$ . Supongamos que $\alpha=2$ . Entonces, a condición de esperar $T$ días, se debe esperar que el evento ocurra a la hora $2T$ .

Answer 2

La distribución exponencial tiene la propiedad de ser "sin memoria", es decir, (utilizando su analogía) la duración de su viaje hasta el momento no tiene ningún efecto sobre la duración del viaje restante. Si la densidad de la distribución decae más rápidamente que la de la distribución exponencial, un viaje más largo significará un viaje restante más corto; a la inversa, una densidad que decae más lentamente que la exponencial (véase, por ejemplo distribuciones subexponenciales ) tendrá la propiedad que describes.

Como creo que la comparación con la falta de memoria es más clara, mi primera sugerencia sería observar otras distribuciones para las que la distribución exponencial es un caso especial. Eso le permitirá controlar de forma bastante intuitiva la magnitud de este efecto. La distribución Weibull con parámetro de forma $<1$ sería una buena opción.