Es la siguiente identidad conocida?
$$\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\binom{n+k}{n-k}\binom{2k}{k}= \frac{1}{2n+1}$$
Yo no la he encontrado en el libro siguiente:
En términos de hipergeométrica de la serie, la suma es $_3F_2(-n, 1+n, 1/2;1,3/2;1)$ y la identidad es un caso especial de Saalschütz del teorema (también llamado el Pfaff-Saalschütz teorema), uno de los estándar de la serie hipergeométrica identidades.
Más general de la identidad, también un caso especial de Saalschütz del teorema, es $$\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{a}{a+k}\binom{n+k+b}{n-k}\binom{2k+b}{k} = \binom{n+b-a}{n}\biggm/\binom{n+a}{n}.$$ La O. P. de la identidad es el caso de la $a=1/2, b=0$.
El uso de $\binom{n+k}{k}\binom{n}k$ en la suma. Definir las funciones $$F(n,k)=(-1)^k\frac{2n+1}{2k+1}\binom{n+k}k\binom{n}{k}, \qquad G(n,k)=\frac{(-1)^{k-1}}{n+1}\binom{n+k}{k-1}\binom{n}{k-1}.$$ A continuación, $F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)$. Suma de todos los enteros $k$ obtener $$f(n+1)-f(n)=0$$ where $f(n)=\sum_kF(n,k)$ is your sum. Since $f(0)=1$, la identidad de la siguiente manera.
Este método es llamado el Wilf-Zeilberger técnica de la suma de rutina.
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