Deje $C$ ser suave (geométricamente irreductible) curva proyectiva de género $g>1$ sobre un campo de número de $K$. La conjetura de Mordell (primero demostró por Faltings) dice que para cualquier campo finito extensión de $L/K$ (es decir, dentro de un fijo algebraicas cierre de $\overline{K}$) no es una función de $\{$(isomorfismo clases de) finito extensiones $L/K$ dentro $\overline{K}\} \rightarrow\ \{$enteros no negativos$\}$ definido por $L \mapsto \#C(L).$ Hace esta función determinar (el isomorfismo de la clase de) $C/\overline{K}$, o de cualquier otro modo, las propiedades geométricas de $C$ tales como el género?
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Will Sawin
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De forma heurística, podemos calcular el género. Este se basa esencialmente en la srategy de damián y David Lampert en los comentarios.
Primera nota de que es posible calcular a partir de esta función, el número de $\#'C(L)$ de puntos por encima de $L$ con campo de definición exactamente $L$. (Aquí el campo de la definición es el más pequeño campo que contiene $K$ que el punto se define más.) Esto se desprende de la inclusión a la exclusión.
Ahora observe que si dejamos $$ r_d = \lim \sup_{X\to \infty} \frac{\log \sum_{L/K, |\Delta_{L/K}|<X} \#'C(L) }{\log X} $$
y deje $d$ ser mínimo con $r_d>0$, creo que es razonable esperar que las $d$ es el gonality de $C$ y que $r_d = \frac{1}{ g+ d-1}$, por lo que el género de $C$ es $\frac{1}{r_d} +1-d$.
¿Por qué creo esto? Consideremos, en primer lugar un grado $d$ mapa de $\pi: C \to \mathbb P^1$. Asociado a un punto de $x\in \mathbb P^1(K)$, de los cuales hay $\approx Y^2$ de la altura de la $<Y$, se obtiene un grado de $d$ divisor en $C$. Por Hilbert irreductibilidad teorema, para casi todos estos puntos, el Galois de acción en este divisor es transitiva, por lo que este divisor define un punto de $C$ con el campo de la definición de un grado $d$ extensión de campo $L$ de $K$.
Asociados a $\pi : C \to \mathbb P^1$ es una rama divisor de recuento de la ramificación de la $\pi$ sobre cada punto. Por Riemann-Hurwitz, que tiene el grado $2g-2+ 2d$. La ramificación de los puntos de $L$ son en la mayoría de los puntos de intersección de $x$ con la rama divisor en el esquema de $\mathbb P^1_{\mathcal O_K}$, y el índice de ramificación es en la mayoría de la intersección de número, con igualdad si la intersección es transversal.
Por lo tanto, el discriminante de $L$ sobre $K$ es en la mayoría de la aritmética intersección número, que es simplemente un grado $2g-2+2d$ polinomio evaluado en $x$, y por lo tanto es $O( Y^{2g-2+2d})$. De ello se deduce que el número de puntos que surgen de esta manera con discriminante menos de $X$ al menos $\approx X^{ \frac{1}{ g-1+d}}$.
Además, para los puntos que son de carácter genérico, en el sentido de que su intersección con la rama divisor es transversal, y que no están demasiado cerca de la rama divisor en el sentido de arquímedes, esto es fuerte, y por eso es razonable esperar que el número de puntos que surjan de esta manera con discriminante menos de $X$ es $\approx X^{ \frac{1}{ g-1+d}}$. Esta es la primera heurística.
Además, para los puntos que surgen de las tapas de una curva elíptica, debido a que el número de puntos racionales de una curva elíptica con la altura de la $<Y$ es $O( Y^{\epsilon})$, es razonable esperar que el número de puntos con discriminante $<X$ es $O(X^{\epsilon})$. Esta es la segunda heurística.
La combinación de estas, y uso de Falting del teorema, podemos ver que todos los puntos de grado menor que el gonality se explica por un número finito de puntos y curvas elípticas y por lo tanto $r_d=0$ para $d$ menos que en el gonality, y para $d$ igual a la gonality tenemos un número finito de cubrir los mapas de a $\mathbb P^1$, todos los cuales tienen el mismo número de $X^{ \frac{1}{g+d-1}}$ de los puntos, y por lo que $r_d = \frac{1}{g+d-1}
Podría ser posible extender esta idea a calcular el isogeny clase de la Jacobiana de $C$ mediante el rango de promedio de simple abelian variedades cuando se retiró de nuevo a los campos de $L$ grado $d$, ponderado por $\#'C(L)$, pero esto sería aún más heurístico.
