¿Por qué no vemos la derivada covariante en la mecánica clásica?

Question

Me pregunto por qué he visto la derivada covariante por primera vez en relatividad general .

Partiendo del punto de que la derivada covariante generaliza el concepto de derivada en el espacio curvo (aunque pensemos que es mejor considerarla como la extensión de la derivada tal que es covariante bajo un cambio de coordenadas). Para ello introducimos los símbolos de Christoffel $\Gamma^i_{jk}$ .

En el espacio-tiempo curvo tenemos símbolos de Christoffel globalmente no evanescentes $\Gamma^i_{jk} \neq 0$ pero en general $\Gamma^i_{jk} \neq 0$ no significa que estemos en un espacio-tiempo curvo. Por ejemplo, si considero el espacio-tiempo de Minkowski con coordenadas cartesianas que, gracias a la transformación de Lorentz, si los Gammas son cero en un marco de referencia son cero en todo marco de referencia, pero podría tener $\Gamma^i_{jk} \neq 0$ incluso en el espacio-tiempo plano con coordenadas polares, ya que los Gammas no se transforman como un tensor en este caso debido a la parte no tensorial de la ley de transformación para $\Gamma^i_{jk}$ bajo un cambio de base.

Si lo que he dicho antes es cierto (un gran "si"), entonces interpretaría esto en mecánica clásica diciendo que en coordenadas cartesianas, los vectores base { $\hat{e}_x,\hat{e}_y$ }, sólidos a un punto de una curva, son constantes si el punto se mueve a lo largo de la curva.

Aunque creo que no puedo decir lo mismo de { $\hat{e}_r, \hat{e}_{\theta}$ }, al mover un punto a lo largo de la curva en este caso los vectores tangentes a las líneas de coordenadas no son constantes (giran mientras el punto se mueve). Por eso creo que debería ver los símbolos de Christoffel incluso en la mecánica clásica, para reflejar la propiedad de los vectores { $\hat{e}_r, \hat{e}_{\theta}$ } que varían a lo largo de la curva.

Answer 1

No se ve la derivada covariante tan a menudo porque el espacio plano tiene isometrías que hacen que las coordenadas cartesianas sean mejores, y en estas coordenadas no hay símbolos de Christoffel, así que las usamos lo más posible. Pero mira la fórmula de la divergencia de una función $\mathbf{F} = F^\hat{r} \hat{\mathbf{r}} + F^\hat{\theta} \hat{\mathbf{\theta}}$ en coordenadas polares:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial(r F^\hat{r})}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F^\hat{\theta}}{\partial \theta} = \frac{\partial F^\hat{r}}{\partial r} + \frac{1}{r} F^\hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial F^\hat{\theta}}{\partial \theta}.$$

Que $1/r$ ¡en el término medio sin derivadas proviene de los símbolos de Christoffel! Así que la derivada covariante está definitivamente ahí, pero en lugar de usar los símbolos de Christoffel, solemos calcularla usando la regla de la cadena y el hecho de que los vectores base cartesianos tienen derivada cero. Las derivadas del vector base son, después de todo, los símbolos de Christoffel, así que el método no es tan diferente.

Un último comentario: los vectores de base ortonormal $\{\hat{\mathbf{r}}, \hat{\theta}\}$ en coordenadas polares no son los vectores base $\{\partial/\partial r, \partial/\partial\theta\}$ que conocemos de la geometría diferencial, porque estas últimas no son ortonormales. La relación es simple:

$$\begin{aligned} \hat{\mathbf{r}} &= \frac{\partial}{\partial r} \\ \hat{\theta} &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial\theta}, \end{aligned}$$

así que tenlo en cuenta al aplicar las fórmulas. En geometría diferencial tendemos a escribir las componentes de los vectores con respecto a la base de la derivada, pero las fórmulas que conocemos del cálculo más básico (como mi fórmula de divergencia) se escriben en términos de la base ortonormal.

Answer 2

El símbolo de Chrisoffel -o la conexión con la métrica- o simplemente la conexión, es el resultado de tomar la derivada de un campo vectorial, lo que puede hacer que el campo vectorial resultante rote.

Para determinar si una variedad es intrínseca o extrínseca, hay que calcular el tensor de curvatura de Riemann.

Por ejemplo, para los espacios euclidianos y de Minkowski, el tensor de curvatura de Riemann es cero, ya que ambos espacios son extrínsecamente planos, o simplemente espacios planos.

Sin embargo, es posible incrustar una superficie intrínsecamente curva en un espacio plano -en cuyo caso uno o posiblemente más símbolos de Chrisoffel pueden no ser cero- pero el tensor de Riemann seguirá siendo cero.

La magia de las variedades semi-Riemann es la conexión conocida como Levi-Civita que es única.

Answer 3

Otro punto a considerar es que en la mecánica hamiltoniana la estructura simpléctica es independiente de una métrica. En el caso regular, no degenerado, esta estructura se puede retrotraer al haz tangente y al dominio de la formulación lagrangiana.

Por lo tanto, no es necesario iniciar en la derivada covariante para la mecánica clásica y en su lugar puede recuperar una descripción más general y abstracta.