Gromov-Hausdorff límites de 2-dimensiones de las superficies de Riemann

Question

Deje $\{M_i\}$ ser una secuencia de 2 dimensiones orientable cerrado superficies de género $g$ con suave métricas de Riemann con la curvatura de Gauss, al menos, $-1$ y el diámetro en la mayoría de las $D$. Por el Gromov teorema de compacidad, se puede elegir una larga convergencia en la Gromov-Hausdorff sentido para un compacto de Alexandrov espacio con curvatura al menos $-1$ y dimensión de Hausdorff 0,1 o 2. Se puede demostrar (ver más abajo) que si $g\geq 2$, entonces el límite de espacio no puede ser un punto, por lo tanto la dimensión del límite de espacio de al menos 1 (mientras que para $g=0,1$ puede ser 0).

Supongamos que el límite de espacio tiene dimensión 1. Entonces es un círculo o segmento.

Si estas dos posibilidades (círculo y segmento) puede ser obtenido en el límite?

AÑADIDO: no es difícil ver que uno puede conseguir el segmento de $g=0$ y el círculo de $g=1$. Sospecho (pero no puede demostrar) que para $g\geq 2$ e $g=0$ uno no puede obtener círculo en el límite. De hecho, yo no sé si en el caso de $g\geq 2$ una de 2 dimensiones límite es la única posibilidad.

ACTUALIZACIÓN: Basado en la respuesta por Igor Belegradek, permítanme resumir la situación. Deje $\{M_i\}$ ser una secuencia de género $g$ orientable cerrado con las superficies de Riemann métricas con curvatura de Gauss, al menos, -1, que converge en la Gromov-Hausdorff sentido a un Alexandrov espacio de $X$.

1) Si $g=0$ entonces $X$ es un punto o un segmento, o $X$ es homeomórficos a $S^2$ (por Perelman teorema de estabilidad), y todos los tres casos son posibles.

2) Si $g=1$ entonces $X$ es un punto, o un círculo de $S^1$, o homeomórficos a la 2-toro, y todos los tres casos son posibles.

3) Si $g\geq 2$ entonces $\dim X=2$ y, por tanto, $X$ es homeomórficos a un orientable de género $g$ superficie cerrada.

AÑADIDO: permítanme añadir una prueba de que si $g\geq 2$ a continuación, un punto no puede ser la limitación de espacio. De hecho, de lo contrario tendríamos $d_i:=diam(M_i)\to 0$. Dejar que nos dividan la métrica de $M_i$ por $d_i$ e indicar el nuevo espacio métrico por $N_i$. Entonces la curvatura seccional de $N_i$ al menos $-d_i^2$ y el diámetro de 1.

Por el de Gauss-Bonnet $$4\pi(1-g)=\int_{N_i}K\geq -d_i^2vol(N_i).$$ Por el Obispo de la desigualdad de $vol(N_i)$ está delimitada desde arriba. Por lo tanto el lado derecho de la desigualdad anterior tiende a 0. Por lo tanto $1-g\geq 0$ lo cual es una contradicción.

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, si el límite es un círculo, y luego por el Yamaguchi fibration teorema, $M_i$ fibras en el círculo, y por lo tanto es un toro (o de la botella de Klein en la no-orientable caso).

Si el límite es de un segmento, entonces $M_i$ es $S^2$ para todos los gran $i$. Uno (con un poco de mano dura) forma de ver esto es aplicar el Corolario de 0,4 de Shioya-Yamaguchi papel. De hecho, el producto de $M_i$ y un círculo unitario, se derrumba al cilindro. Por lo tanto, en Corolario 0.4 tenemos $g=0$ e $k=2$. Por lo tanto, de un gran $i$ el grupo fundamental de la $M_i\times S^1$ es un producto libre de $\mathbb Z$ y un número finito finito de grupos cíclicos. Un grupo no puede tener un centro a menos que todas las finito cíclico grupos son triviales. El círculo factor de $M_i\times S^1$ es central en el grupo fundamental, por lo $\pi_1(M_i\times S^1)=\mathbb Z$. Por lo tanto $M_i$ es una esfera (para $i$).

Este argumento se utiliza orientability de $M_i$ porque Shioya-Yamaguchi sólo se ocupan de orientables colectores.

Answer 2

Considere la posibilidad de un menor cerrado geodésica $\gamma$ en la superficie de la longitud de sys, y el normal exponencial mapa de $\gamma$. El uso de la parte inferior de la curvatura de obligado, se obtiene una cota superior sobre el área total como $\text{sys}\cdot \sinh(D)$ donde $D$ es el diámetro. Esta sigue sólo mediante la aplicación de Rauch límites en campos de Jacobi (este es un ingrediente en la prueba de Toponogov). Por lo tanto, la sístole es acotado abajo por $ \frac{\text{area}}{\sinh D}$, y el área está delimitada por debajo de Gauss-Bonnet. Además, el relleno de radio está acotado abajo por el 1/6 de la sístole por Gromov la desigualdad. El mínimo de Gromov-Hausdorff distancia a un gráfico está acotado abajo por el llenado de radio. Por lo tanto, obtener un análisis cuantitativo de límite inferior y no a la mera inexistencia de Yamaguchi-tipo de colapso.

Esto demuestra que hiperbólico superficies de curvatura acotada abajo por $-1$ con diámetro acotada arriba por $D$ no puede contraer de manera que un Gromov-Hausdorff límite es necesariamente de 2 dimensiones.

Para más detalles, ver https://arxiv.org/abs/1604.06782

Answer 3

Me acordé de otra razón por la que cierra las superficies de la negativa de Euler carácter no puede derrumbarse bajo el límite inferior de curvatura seccional.

Mucho más es cierto: si una secuencia de $n$-dimensiones cerrado colectores $M_i$ de la curvatura de Ricci $\ge -k^2$ Gromov-Hausdorff converge a un espacio compacto de (Hausdorff) dimensión $<n$, entonces el simplical volumen de $M_i$ es cero para un gran $i$.

De hecho, en la parte inferior de la p.244 de Gromov del Volumen y delimitada cohomology se muestra que un menor curvatura de Ricci obligado implica que el simplicial volumen está delimitado por encima en términos de volumen y de la dimensión. Si una secuencia de colectores converge a un espacio de dimensión $<n$ por debajo del nivel inferior de Ricci obligado, a continuación, su volumen tiende a cero; esto es debido a Colding, como se ha mencionado por ejemplo, en la p.91 de Aspectos de la Curvatura de Ricci.

El simplicial volumen de una superficie cerrada negativa de Euler charactersistic $\chi$ es $2|\chi|$, ver pág.217 en Gromov del papel, para que no se derrumbe bajo una menor curvatura obligado. Por supuesto, hay muchos grandes dimensiones colectores de cero simplicial de volumen.