La motivación para el fuerte de la ley de los grandes números

Question

Yo siempre encuentra el fuerte de la ley de los grandes números difícil motivar a los estudiantes, especialmente los no matemáticos. La ley débiles (dando la convergencia en probabilidad) es mucho más fácil de probar; ¿por qué vale la pena tanto esfuerzo para actualizar la conclusión de que casi seguro de convergencia?

Creo que se trata de no tener una buena idea de por qué, prácticamente hablando, una.s. la convergencia es mejor que el de convergencia i.p. Seguro, puedo demostrar que una implica la otra y no a la inversa, pero la contraejemplos sentir artificial. Entiendo las ventajas de una.s. la convergencia a nivel técnico, pero no en el nivel de la vida cotidiana.

Así que mi pregunta: ¿cómo explicar, digamos, un ingeniero, de la importancia de tener una.s. la convergencia frente a i.p.? Hay una "vida real" es un ejemplo de mal comportamiento que estamos descartar?

Answer 1

Aquí es un buen post de T. Tao en SLLN. En la sección de comentarios que se le pide una muy similar pregunta a la que responde la siguiente: (espero que esté bien para reproducir aquí, ya que está enterrado abajo en los comentarios)

Volviendo específicamente a la cuestión de finitary interpretaciones de la SLLN, estos básicamente, tiene que ver con la situación en la que uno está considerando simultáneamente múltiples promedios $\overline{X}_n$ de una sola serie empírica de muestras, en contraposición a la consideración de un solo tal media (que es, básicamente, la situación cubierta por el WLLN). Por ejemplo, si uno tenía algún azar de la intensidad de campo de píxeles en escala de grises, y quería comparar el promedio de las intensidades en 10 x 10 bloques, 100 x 100 bloques, y 1000 x 1000 bloques, a continuación, el SLLN sugiere que estas intensidades podría ser probable para ser al mismo tiempo cerca de la media de intensidad. (El WLLN sólo sugiere que cada uno de estos espacial promedios son individualmente probabilidad de estar cerca de la media de la intensidad, pero no excluye la posibilidad de que cuando uno considera que varias como espacio de promedios a la vez, que un par de periféricos espacial promedios se desvían de la media de la intensidad. En mi ejemplo, con sólo tres medios diferentes, no hay mucha diferencia, como la unión vinculados sólo pierde un factor de tres en la mayor parte de la probabilidad de fallos, pero el SLLN comienza a mostrar su fuerza sobre el WLLN cuando uno está considerando un número muy grande de los promedios a la vez).

Answer 2

Supongamos que usted está en el contexto de la recogida de datos y la estimación de la media.

Imagine una situación en la SLLN no se sostiene. Esto significa que con probabilidad positiva la acumulación de nuevos datos es inútil.

Answer 3

Creo que vale la pena señalar que incluso si el mundo real de los sistemas son fundamentalmente finito (en cuyo caso la distinción entre WLLN y SLLN obtiene un poco filosófica), la historia ha demostrado que es extremadamente útil para aproximar el discreto, con el continuo. Por lo tanto consideramos que el límite de teoremas a la aproximación de las estadísticas de las grandes muestras, consideramos continua de las distribuciones aproximadas complicado distribuciones finito, y consideramos continua de procesos estocásticos en el fin de aproximar finito (por ejemplo, Donsker la permanencia del principio).

Los ejemplos de secuencias que convergen en probabilidad, pero no.s. puede parecer un poco artificial, pero entonces de nuevo la mayoría de los ingenieros parecen permitir que tales absurdos filosóficos como "vamos a $X_n$ ser una secuencia infinita de lanzar una moneda". En este sentido, tal vez lo mejor es la frase de la distinción entre una convergencia.s. y la convergencia en probabilidad en términos que parecen más cualitativo y menos analítica. Por ejemplo, imagine que usted presenta una secuencia de juegos de azar, y usted debe tomar todos o ninguno de ellos. Hay una muy importante distinción entre saber que su riqueza converge a.s. para algunos deterministas valor vs sabiendo que converge en probabilidad (a la que el mismo valor). En el primer caso, se espera que en casi todos los estados del mundo que si usted juega el juego de que su riqueza finalmente se estabiliza. Sin embargo, en el caso de la convergencia en probabilidad de que usted podría ir a la quiebra infinitamente a menudo. Huy!

Answer 4

Usted puede utilizar los tres de la serie teorema para elaborar una.s. la convergencia. Este enfoque también tendría la ventaja de trabajar con miras a la SLLN.