Un polinomio con densidad de primos positiva

Question

Sea $P(x)$ sea un polinomio no constante con coeficientes reales.

Puede densidad natural de

$$\{n\ |\ \lfloor P(n)\rfloor \ \text{is prime.}\}$$

ser positivo?

Answer 1

No. Hay dos casos. En primer lugar, supongamos que uno de los coeficientes no constantes de $P$ es irracional. Entonces, por el teorema de equidistribución de Weyl, $\lfloor P(n) \rfloor$ está equidistribuido mod $W$ para cualquier módulo $W$ que ya limita la densidad natural de la producción primaria $n$ como máximo $\phi(W)/W$ para cualquier $W$ lo que implica una densidad nula tomando $W$ para ser un producto de todos los primos menores que un umbral grande $w$ .

Si los coeficientes no constantes son todos racionales, pasando a una progresión aritmética adecuada se pueden hacer todos enteros, momento en el que también se pueden hacer enteros los coeficientes constantes. Entonces se puede cribar utilizando el teorema de la densidad de Chebotarev (o Teorema del ideal primo de Landau ) como en la respuesta de David. (Probablemente se debería obtener un límite superior de $O(x/\log x)$ para el número de $n \leq x$ con $P(n)$ primo por este método, donde las constantes implícitas dependen de los coeficientes de $P$ por supuesto).

Answer 2

No. $\omega(p)$ sea el número de raíces de $f$ modulo $p$ . Claramente, para cualquier conjunto finito $S$ la densidad asintótica superior de su conjunto está limitada por $\prod_{p \in S} (1-\omega(p)/p)$ . (Porque la probabilidad de que $p \nmid f(n)$ es $1-\omega(p)/p$ estas probabilidades son independientes para distintos primos, y $f(n)$ sólo es igual a $p$ finitamente muchas veces). Tenemos $ \prod_{p \in S} (1-\omega(p)/p) \leq \exp (- \sum_{p \in S} \omega(p)/p)$ .

Pero el teorema de la densidad de Cebotarov (o Frobenius) da que $\sum \omega(p)/p$ diverge hacia $\infty$ por lo que podemos tomar un conjunto finito $S$ lo suficientemente grande como para hacer $\sum_{p \in S} \omega(p)/p$ mayor que cualquier $N$ .

Mencionaré cómo encaja esto en la conjetura Bateman-Horn. Que dice que la densidad debe ir a $0$ como $\prod \frac{p-\omega(p)}{p-1} \cdot \frac{x}{\log f(x)}$ donde lo bueno es que el producto converge a un número distinto de cero si y sólo (1) $f$ es irreducible y (2) $\omega(p) \neq p$ para cualquier $p$ . Pero todo lo que necesito para responder a su pregunta es un límite superior de $\prod_{p \leq N} \frac{p-\omega(p)}{p} \cdot x$ .

Answer 3

La conjetura Bateman-Horn dice que no. Véase este documento de Kevin McCurley para obtener resultados relacionados.