Argumento geométrico de que los operadores sobre $\mathbb{R}^3$ tiene un valor propio?

Question

Esta pregunta surgió al intentar encontrar un $3\times3$ matriz real $A$ tal que

1. $Ax$ es distinto de cero para $x$
2. $Ax$ es ortogonal a $x$ para cualquier $x$ en $\mathbb{R}^3$

Sabemos que tal matriz no puede existir porque $A$ debe tener un valor propio (por tanto, existe algún $x$ de forma que $Ax = 0$ o $Ax$ es paralelo a $x$ )

Sin embargo,

¿Hay un bonito, puramente geométrico manera de justificar que cada operador de $\mathbb{R}^3 $ tiene un valor propio (real)?

Para aclarar: estoy buscando una forma intuitiva de visualice por qué debe existir un valor propio en este caso. En particular, ¡no se permiten polinomios ni determinantes!

Answer 1

Si $A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ era un mapa lineal sin vectores propios, entonces $x\mapsto Ax/\Vert Ax\Vert$ daría un mapa en la esfera unidad sin puntos fijos y sin llevar ningún punto a su antípoda, contradiciendo la teorema de la bola peluda .

Answer 2

Sólo usando álgebra lineal pero sin determinantes, lo más parecido a lo que preguntas que yo sepa sirve para que los polinomios de grado 3 con coeficientes reales tengan raíces:

Argumentemos por contradicción, y supongamos que $A$ no tiene valores propios. En primer lugar, afirmo que cualquier $v$ está contenida en un $A$ -subespacio invariante de ${\mathbb R}^3$ . Esto queda claro si $v=0$ . De lo contrario, considere $v,Av,A^2v,A^3v$ . Son linealmente dependientes, por lo que hay coeficientes reales $a,b,c,d$ no todo cero con $(aA^3+bA^2+cA+dI)v=0$ .

Ahora examinamos el polinomio $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Si $a\ne0$ , $p$ tiene una raíz real $r$ y podemos escribir $p(x)=(x-r)(ax^2+ex+f)$ para algunos números reales $e,f$ . Esto nos da $(A-rI)(aA^2+eA+fI)v=0$ pero $A-rI$ es invertible (ya que $r$ no es un valor propio de $A$ ), por lo que, de hecho $(aA^2+eA+fI)v=0$ . Si $a=0$ entonces tenemos directamente $(bA^2+cA+dI)v=0$ .

Esto demuestra que $v$ está contenida en un $A$ -(considere el espacio $S$ de $v,AV$ y obsérvese que el argumento anterior muestra que o bien $A^2v$ está en este tramo, de lo que se deduce que $S$ es $A$ -invariante, o bien, el coeficiente de $A^2$ es 0, y de hecho $v$ es un valor propio, una contradicción).

Por tanto, podemos suponer que cualquier $v$ está en un $A$ -invariante avión $P_v$ . Ahora bien, si $w$ es un vector que no está en $P_v$ entonces cualquier vector en $P_v\cap P_w$ se asigna mediante $A$ a otro vector en la misma línea, por lo que $P_v\cap P_w$ es un $A$ -línea invariante, es decir, $A$ tiene un valor propio real después de todo.

(Nótese que he presentado el argumento como una contradicción por brevedad, pero puede reordenarse como una prueba directa).

David Milovich encontró una buena manera de extender este argumento, así que tenemos una prueba corta y agradable "libre de determinantes" de que $n\times n$ matrices con entradas reales y $n$ impar admiten un valor propio real, véase esto entrada del blog mía.

Esto me interesó porque es el caso base de un bonito argumento inductivo (que en realidad se remonta a una de las primeras demostraciones del teorema fundamental del álgebra de Gauss) que nos permite demostrar que cualquier matriz cuadrada con coeficientes reales admite un valor propio (quizás complejo), del que podemos deducir el teorema fundamental del álgebra. Hago referencia a esto en el post anterior, pero procede de "The fundamental theorem of algebra and linear algebra", de Harm Derksen, American Mathematical Monthly, 110 (7) (2003), 620-623. (La cuestión es que en ese artículo, el caso impar-dimensional se hace apelando a determinantes).

Answer 3

Su primera condición "(1) $Ax$ es distinto de cero para $x$ "implica que la matriz es de rango completo. Por tanto, concluimos que $A$ tiene valores propios no evanescentes. Entonces tenemos dos posibilidades:

(a) Existen tres valores propios reales no evanescentes (posiblemente degenerados). (b) Existe un par de valores propios complejos conjugados y un valor propio real no evanescente.

En ambos casos se tiene al menos un valor propio real con un vector propio asociado.

También puede consultar Teorema de rotación de Euler que establece que en ${\mathbb R}^3$ siempre habrá un eje fijo (es decir, un valor propio de 1) bajo cualquier rotación.

Por cierto, su objetivo es posible en ${\mathbb R}^4$ .