¿Qué redes pares tienen una serie theta con esta propiedad?

Question

Se trata de una ligera generalización de un pregunta que hice en Math StackExchange, que sigue sin respuesta después de un mes, así que he decidido publicarla aquí. Lo siento de antemano si es inapropiado para este sitio.

Supongamos que $\Lambda$ es un entramado par. Consideremos su serie theta

$$\theta_{\Lambda}(q) = \sum_{a\in \Lambda} q^{(a,a)/2},$$

donde $(\cdot,\cdot)$ denota el producto interno euclidiano.

Mi pregunta es:

Para lo cual $\Lambda$ ¿tenemos

$$\theta_{\Lambda}(q) = 1+m\sum_{n>0}\frac{f(n)\: q^n}{1-q^n}$$

donde $m$ es distinto de cero y $f$ es un totalmente multiplicativo ¿función aritmética?

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Ejemplos

Sólo conozco dos tipos de entramados con esta propiedad:

1. Órdenes máximos en álgebras de división racional con número de clase 1, escalado por $\sqrt{2}$ :

   • Dimensión 1: Los números enteros, con $m=2$ y $f(n)=\lambda(n)$ es la función de Liouville.

   • Dimensión 2: Los anillos de enteros de campos cuadráticos imaginarios de discriminantes $D = -3, -4, -7, -8, -11, -19, -43, -67, -163$ . Aquí $m=\frac{2}{L(0,f)}$ y $f(n) = \left(\frac{D}{n}\right)$ es un símbolo de Kronecker, y $L(0,f)$ viene dada por $\sum_{n=0}^{|D|} \frac{n}{D} \left(\frac{D}{n}\right)$ .

   • Dimensión 4: Los órdenes máximos de las álgebras de cuaterniones totalmente definidos de los discriminantes $D = 4, 9, 25, 49, 169$ . Aquí $m=\frac{24}{\sqrt{D}-1}$ y $f(n) = n \left(\frac{D}{n}\right)$ .

   • Dimensión 8: El orden Coxeter en los octoniones racionales, con $m=240$ y $f(n)=n^3$ .

2. Los dos entramados de 16 dimensiones de la teoría de cuerdas heteróticas, $E_8\times E_8$ y $D_{16}^+$ . Ambos entramados tienen la misma serie theta, con $m=480$ y $f(n)=n^7$ .

Entre ellos se encuentran, en particular, todos los entramados de raíces que mencioné en el post original de Math.SE.

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Intento

(Siéntase libre de saltarse esta parte)

No sé mucho sobre formas modulares así que esto puede contener errores. El teorema 4 en estas notas implica que en la dimensión par existe un nivel $N$ y un personaje $\chi$ tomando valores en $\{-1,0,1\}$ para lo cual $\theta_{\Lambda}$ es una forma modular de peso $k = (\mathrm{dim}\: \Lambda) /2$ . La propiedad solicitada, a su vez, implica que la función zeta de Epstein de la red tiene un producto de Euler

$$\zeta_{\Lambda} (s) \propto \prod_p \frac{1}{1-(1+f(p))p^{-s}+f(p)p^{-2s}} = \zeta(s) \prod_p \frac{1}{1-f(p)p^{-s}},$$

que en dimensión par significa que $\theta_{\Lambda}$ es una eigenforma de Hecke (no es cúspide, dado el coeficiente principal 1); por tanto, vemos que debe ser una serie de Eisenstein de peso $k$ , nivel $N$ y el carácter $\chi$ por la descomposición del espacio de las formas modulares en subespacios Eisenstein + cuspidales.

Esta serie de Eisenstein tiene la expansión de Fourier $E_{k,\chi}(q) = 1- (2k/B_{k,\chi}) \sum (\cdots)$ donde $B_{k,\chi}$ es un número de Bernoulli generalizado y el $(\cdots)$ parte tiene coeficientes integrales. Así que un posible curso de acción sería encontrar aquellos números de Bernoulli generalizados para los que $2k/B_{k,\chi} = -m$ es un número entero par negativo (ya que en $\Lambda$ debe haber un número par de vectores de norma 2), y comprobar caso por caso si la serie de Eisenstein asociada es la serie theta de una red.

Si este enfoque es correcto, podemos utilizar las tablas 1-3 en este documento que muestra que los únicos casos de este tipo con $\mathrm{dim}\: \Lambda \ge 4$ son las dadas en la sección de Ejemplos, junto con una cierta serie de Eisenstein de peso 2 y nivel 42, que no parece corresponder a una red.

Por otro lado, no entiendo qué ocurre en el caso de la dimensión impar (aparte de la dimensión 1, que es trivial), donde las formas modulares implicadas son de peso semi-integral. Parece que el concepto de forma propia de Hecke se define de forma un poco diferente, por lo que el enfoque anterior puede no funcionar aquí. He encontrado esta respuesta que dice que las funciones zeta asociadas a formas modulares de peso medio entero carecen generalmente de productos de Euler. Aquí también hay algunas preguntas posiblemente relevantes ( 1 , 2 ) que tratan de casos especiales. Otro caso particular, el de los productos de potencias de la función theta de Jacobi y la función eta de Dedekind, fue tratado en este documento por el propio Hecke.

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Actualización: siguiendo la sugerencia del Prof. Kimball, utilicé esta herramienta online LMFDB para comprobar la serie theta de todos los entramados integrales pares con una clase por género. No he encontrado más ejemplos de retículos con la propiedad requerida.

Dada la condición de la forma propia de Hecke y la Fórmula Siegel-Weil Creo que esto bastaría como prueba de que la lista anterior de 18 retículos es completa, si podemos demostrar que no hay otro caso que $(E_8\times E_8, D_{16}^+)$ donde todos los entramados de un mismo género son isoespectrales (o si hay un número finito y comprobable de esos casos excepcionales).

Answer 1

No tengo una respuesta completa a su pregunta, y no he tratado de elaborar los detalles, pero puedo ofrecer algunas ideas, al menos en una dimensión uniforme:

• En primer lugar, para satisfacer esa propiedad, la serie theta tiene que ser una serie de Eisenstein que sea una eigenforma de Hecke (utilizando un término constante no trivial y la multiplicatividad), digamos que con peso $k$ , nivel $N$ y el carácter $\chi$ . (Normalmente $N$ debe dividir el nivel $M$ de $\Lambda$ pero creo que puede haber algunos casos límite de los que preocuparse con un carácter no trivial. Al menos tienes $N | M^2$ .)

• Es de suponer que puede utilizar su propiedad de multiplicatividad para demostrar que su serie de Eisenstein debe ser nueva de cualquier nivel $N$ lo es.

• Como su serie theta debe tener coeficientes positivos, el carácter $\chi$ debe ser real (por tanto, cuadrática) y el $p$ -coeficiente en el $q$ -serie debe ser $p^{k-1} + \chi(p)$ . Posiblemente su condición de multiplicidad excluye a los no triviales $\chi$ .

• Entonces, como sugieres, deberías ser capaz de usar hechos sobre los números de Bernoulli, para descartar la mayoría de los pesos. Por ejemplo, el Teorema de von Staudt-Clausen que te dice que los denominadores deberían ser suficientes para el carácter trivial.

• Si $\Lambda$ es un ideal en un álgebra de cuaterniones definida (sobre $\mathbb Q$ o un campo totalmente real de clase estrecha número 1) y su orden (digamos derecho) $O$ es Eichler, entonces se puede demostrar que su serie theta es una serie de Eisenstein si y sólo si estamos en la clase número 1. Es decir, la condición de Eichler implica que hay una única Eisenstein en el espacio de las series theta de la derecha $O$ -pero esta serie de Eisenstein es una suma sobre todas las clases de ideales.

Del mismo modo es razonable que esto (¿esencialmente? No estoy familiarizado con su ejemplo de 16-d) sólo puede ocurrir para retículos con 1 clase por género.

Para las formas de peso semi-integral, tampoco esperaría la multiplicatividad, pero no sé dónde podría demostrarse. En tu caso, supongo que puedes comprobarlo a partir de los detalles de las series de Eisenstein de peso semi-integral, pero quizás alguien pueda añadir algo más.

Answer 2

Después de revisar mi pregunta, creo que he conseguido encontrar una prueba de que no hay otros ejemplos de retículos con la propiedad solicitada. Lo pongo como auto-respuesta por si a alguien le interesa. Aquí está el esquema:

• El caso de la dimensión par $\mathrm{dim}\: \Lambda \ge 4$ ya fue descrito $^\dagger$ en la sección "Intento" de mi pregunta; la parte más importante (acotar los números de Bernoulli generalizados) se hace en la sección 3 de este documento de 2011 de M. Johnson que he citado en la pregunta.

• También podemos adaptar la estrategia de ese trabajo al caso impar-dimensional. Al igual que en el caso par, comenzamos observando que la serie theta debe ser una determinada serie de Eisenstein de peso medio entero $k$ y el nivel prescrito $4N$ y el carácter $\chi$ normalizado de tal manera que el coeficiente zeroth es $1$ . Se necesita una expresión para los coeficientes de Fourier de estas series, que he encontrado para $\mathrm{dim}\: \Lambda = 2k \ge 5$ en la página 17 de esta tesis de 2015 por M. Owen. Sólo nos interesa el coeficiente de $q^1$ que se simplifica en

  $$c_1 = \left(-2\pi i/N\right)^k \:\Gamma(k)^{-1} A(1) X(1),$$

  donde

  $$A(1) = \sum_{r=1}^{4N} \epsilon_r^{2k} \left(\frac{4N}{r}\right) \chi(r) e^{2\pi ir/N}, \quad X(1)= \prod_{l\nmid 4N}(1+\chi(l) \epsilon_l^{2k-1} l^{1/2-k})$$

  (como en el documento de Owen, aquí $l$ es primo, $\left(\frac{4N}{r}\right)$ es un símbolo de Kronecker, y $\epsilon_n$ denota la rama principal de $\sqrt{\left(\frac{-1}{n}\right)}$ . Tenga en cuenta también que utilizo $4N$ donde el autor utiliza $N$ ya que para las formas de peso semientero el nivel es siempre un múltiplo de 4). Este $c_1$ es un análogo de los números de Bernoulli generalizados para el peso semi-integral.

  El $A(1)$ es una suma de raíces de la unidad cuyo módulo está obviamente limitado por $4N$ y con el mismo argumento que en la página 9 del documento de Johnson, $|X(1)|$ está limitada por $\prod_{l}(1+l^{1/2-k})=\frac{\zeta(k-1/2)}{\zeta(2k-1)}$ . Juntando todo, vemos que el límite de $|c_1|$ será menor que $2$ a menos que $N$ y $k$ son lo suficientemente bajos (concretamente tenemos $N=1$ y $k \le 9/2$ o $1 < N \le 3$ y $k=5/2$ ), por lo que recordando que $c_1$ debe ser un entero par no nulo, podemos restringir nuestro análisis a estos casos solamente. Todos ellos quedan descartados mediante el cálculo manual de los coeficientes.

• El caso $\mathrm{dim}\: \Lambda = 2$ se resuelve fácilmente utilizando la relación entre los entramados de enteros 2D y los anillos de enteros de los campos de números imaginarios cuadráticos, y aplicando la fórmula del número de clase.

• Esto sólo deja el caso $\mathrm{dim}\: \Lambda = 3$ . Se sabe que no existen retículos isoespectrales de dimensión inferior a $4$ (véase, por ejemplo, el final de la sección 2 aquí ), por lo que en este caso basta con apelar a la fórmula de Siegel-Weil y comprobar los ejemplos de una sola clase en dimensión $3$ con la herramienta en línea LMFDB, lo que ya hice (esto también podría ser una forma alternativa de tratar el caso $\mathrm{dim}\: \Lambda = 2$ ). Esto completa la prueba.

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Observación: Admito que la prueba anterior es algo "fea", ya que no da ninguna idea de la forma de la clasificación. Una prueba más satisfactoria explicaría por qué todos estos entramados tienen la estructura multiplicativa de un orden en un álgebra de división (y, por tanto, se dan en las dimensiones 1, 2, 4, 8) excepto en el caso esporádico $(E_8 \times E_8, D_{16}^+)$ .

Hay que hacer una observación sobre este último caso. Para cualquier celosía $\Lambda$ es posible definir Serie theta de Siegel del género $g$ generalizando la serie theta habitual, que esencialmente cuenta el número de $g$ -de los sublattices de $\Lambda$ . Dado que existe una correspondencia biyectiva entre los retículos y sus series theta en el género $g\ge \mathrm{dim} \: \Lambda$ no se puede plantear la cuestión de que dos retículos tengan la misma serie theta; de hecho, el ejemplo esporádico de $E_8 \times E_8 \leftrightarrow D_{16}^+$ desaparece ya en el género 4 debido a la Forma Schottky y la correspondiente fórmula de Siegel-Weil para $g\ge 4$ tiene la forma $\mathrm{E}_8^{(g)} = \frac{405}{691} \Theta_{E_8 \times E_8}^{(g)} + \frac{286}{691} \Theta_{D_{16}^+}^{(g)}$ con $\Theta_{E_8 \times E_8}^{(g)} \neq \Theta_{D_{16}^+}^{(g)}$ . Por el contrario, el octonión " $\mathrm{E} = \Theta$ "identidad entre la serie theta de Siegel del $E_8$ de la celosía y la serie de Siegel Eisenstein de peso 4 sí se cumple para todos los géneros, y creo que lo mismo ocurre para los demás ejemplos. Esto podría ser un punto de partida para explicar por qué el caso esporádico no tiene una estructura multiplicativa.

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$\dagger$ - El ejemplo extra posible de dimensión $4$ y el nivel $42$ que mencioné no corresponde a ninguna red; quizás la forma más fácil de ver esto es inspeccionar los coeficientes de la serie theta candidata, que comienza como

$$1+2q+2q^2+2q^3+2q^4+12q^5+2q^6+2q^7+2q^8+2q^9+12q^{10}+\ldots$$

(el coeficiente general es el doble de la suma de los divisores de $n$ que no dividen $42$ ).

Dado que el coeficiente de $q^n$ cuenta el número de vectores de norma $2n$ , dicha red tendría un vector $\mathbf{a}$ de norma cuadrada $2$ y otro vector linealmente independiente $\mathbf{b}$ de norma cuadrada $10$ . También podemos ver que todos los vectores de norma cuadrada inferior a $10$ así como los que tienen normas al cuadrado estrictamente entre $10$ y $20$ deben ser múltiplos enteros de $\mathbf{a}$ ya que sólo hay dos vectores de cada norma en estos intervalos.

La norma al cuadrado de la suma $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ es un número entero par positivo limitado por $(\sqrt{2}+\sqrt{10})^2 \approx 20.944$ por las observaciones anteriores, sólo puede ser $20$ . Pero entonces por la ley del paralelogramo, $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2 = 2|\mathbf{a}|^2+2|\mathbf{b}|^2-|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = 4+20-20=4$ lo cual es una contradicción ya que $\mathbf{a}-\mathbf{b} \not\propto \mathbf{a}$ .