¿Cuáles son las principales ideas de la obra de Harald Helfgott prueba que todos los impar $n \geq 5$ es la suma de 3 primos?
Creo que esta entrada del blog de Terry Tao, así como los comentarios que la siguen (incluidos algunos de Helfgott) responden a esta pregunta de la forma más completa que se puede esperar.
https://terrytao.wordpress.com/2012/05/20/heuristic-limitations-of-the-circle-method/
Tenga en cuenta que la entrada del blog fue escrita hace un año. Sin embargo, sigue siendo relevante (especialmente los comentarios de Helfgott).
¿Esto también muestra cada número de impar $n > 5$ es de la forma $n=2p+q$ donde $p$ y $q$ ¿son algunos primos?
Yo diría que el post de Terry Tao es una buena explicación de por qué las pruebas basadas en el método del círculo (como la mía) no funcionarán, por sí mismas, para el problema binario de Goldbach. Mis comentarios dan una idea de mi estrategia para el problema ternario (a partir de mayo de 2012), pero creo que he explicado mejor las cosas en otro lugar.
Tiene que ser iterado una vez más, que Vinogradov demostró en 1937 que todos los números Impares suficientemente grandes son suma de tres primos. La actual contribución de Helfgott sólo pretende salvar la distancia entre lo suficientemente grande y todos los números .
Este es un problema interesante. Sin embargo, como la prueba de Vinogradov introdujo el fundamentalmente nuevo de las formas bilineales, la contribución de Helfgott es de una escala mucho menor. Aunque contribuye al subcampo particular de la teoría analítica de los números que se ocupa de las estimaciones explícitas, lo más probable es que no contribuya al campo más amplio, y en su lugar utiliza una idea que ya existía desde hace mucho tiempo.
Como en party-pooper, supongo (para los que no conozcan la expresión inglesa: alguien que actúa de forma que amortigua el entusiasmo).
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Por mi parte, creo que la prueba es correcta. Ya se conocía el módulo de un gran cómputo finito; las nuevas ideas van dirigidas (creo) a rebajar ese módulo de cómputo, hasta el punto de que ya se ha hecho.
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¿No lo demostró Vinogradov para números Impares suficientemente grandes en algo así como 1937? Así que parece razonable creer que decidir la cuestión en un sentido u otro sería cuestión de tiempo después de eso.
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Para la primera pregunta, me limitaría a leer la introducción del documento de Helfgott.
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No estoy en condiciones de comentar los detalles (y soy escéptico con respecto a estas cuestiones en general), pero en vista de algunas otras contribuciones me gustaría decir que desde Vinogradov hubo una serie de contribuciones para obtener la conjetura completa, por lo que si es (y esto parece probable) ahora totalmente resuelto esto parece como un logro. No tengo tiempo para escribir en detalle, pero sólo una observación: hace poco se demostró que todos los números Impares (salvo mínimas excepciones) son suma de 5 primos (Tao) mejorando a Ramaré (6 primos, para los pares). Así que ahora 3 (no 'sólo' 4) OMI es impresionante.
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Su pregunta parece adecuada para un blog. Como Terry Tao ya tiene una discusión en el blog sobre este tema, he votado por cerrarlo.
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Estaría bien tener la posibilidad de votar a la baja (o a la alta) las acciones de cierre de algunas de las preguntas.
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@Christi Stoica: si no estás de acuerdo con un cierre lo mejor es iniciar un hilo en meta. (Enlace en la parte superior; es necesario un registro adicional, pero es fácil e instantáneo. Regístrate, arriba a la derecha, y luego "solicita ser miembro", que se concede al instante).
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Geoff - el problema era que las constantes existentes anteriormente eran mayores que el número de partículas subatómicas en el universo multiplicado por el número de microsegundos desde el Big Bang...
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@H A Helfgott: Mi intención era apoyarle en el sentido de que, dado que se sabía que el resultado era cierto en todos los casos, salvo en un número finito (por ridículamente grande que sea), no parece haber ninguna razón para no creer que el resultado haya sido demostrado. Perdona si ha sonado de otra manera, esa no era mi intención en absoluto.
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No te preocupes, Geoff.
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Me parece (a un teórico de los números algebraicos, principalmente), que la teoría analítica de los números, que me parecía un poco adormecida cuando estaba en la escuela de posgrado (en la ENS), está experimentando ahora un florecimiento impresionante un poco similar al que experimenta la teoría algebraica de los números después de la prueba de Wiles de Fermat. Me refiero a la demostración, en los últimos diez años, de la existencia de secuencias largas arbitrarias en los números primos, de infinitos espacios acotados entre los números primos, de la conjetura débil de Goldbach, y tantas otras cosas hermosas. Es muy alentador, como lo fue el anuncio de Wiles.
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@Joël: No estoy de acuerdo. Creo que la teoría analítica de números fue un tema constantemente ocupado a lo largo del siglo XX, sólo hay que pensar en el método del círculo, los tamices, los resultados de densidad cero, las formas automórficas y las L-fucciones automórficas, y varios héroes realmente grandes en el tema, algunos de los cuales están muy vivos y siguen trabajando. Por otro lado, estoy de acuerdo en que el tema se ha puesto más de moda últimamente, quizá por el número constantemente creciente de conexiones con otros temas, y por los recientes y fascinantes desarrollos, fáciles de afirmar pero difíciles de probar.