Quizá la pregunta es muy trivial en un sentido. Así, no trabajo para nadie. Hace un par de años, cuando estaba en séptimo grado el estudiante, había encontrado una fórmula cuadrática para mí. Lamentablemente, no tuve la oportunidad de mostrar mi maestro en ese momento y más tarde vi que se trataba de "trivial". Vi esta fórmula de nuevo por casualidad, mientras que la mezcla de mis viejos cuadernos. Me pregunto si esta sencilla fórmula se utiliza en algún lugar.
El método original
Recordemos que el método original primero:
$$\color{#c00}{ax^2+bx+c=0, ~~\text {}~a\neq 0} \\ 4a^2 x^2+4abx+4ac =0 \\ 4a^2 x^2+4abx=-4ac \\ 4a^2 x^2+4abx+b^2=b^2-4ac \\ \left(2ax+b \right)^2 =b^2-4ac \\ 2ax+b= \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ x_{1,2}= \dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac} -b}{2a} \\ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000] {x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$
De hecho, la "carne" de este método es la siguiente:
$$\color{#c00}{{ax^2+bx+c=0, ~~\text {}~a\neq 0}}\\x^2+\dfrac{b}{a}x+ \dfrac{c}{a}=0 \\\left (x+ \dfrac{b}{2a} \right)^2- \left (\dfrac{b}{2a} \right)^2+\dfrac{c}{a}=0 \\ \left (x+ \dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac {c}{a} \\ \left (x+ \dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x+ \dfrac{b}{2a}= \dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000] {x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$
La construcción de la fórmula general
Ahora, sabemos que si una de las raíces de $ax^2+bx+c=0$ es $x = 0,$ entonces nuestra ecuación es equivalente a $ax^2 + bx = 0.$ Ninguna fórmula especial que se requiere para resolver la última ecuación.
En este sentido, soy de salir por la aceptación que $x \neq0.$
$$\color{#c00}{ax^2+bx+c=0, ~~\text {}~a\neq 0} \\ a+\dfrac {b}{x} +\dfrac{c}{x^2}=0 \\ \dfrac{c}{x^2}+\dfrac {b}{x} +a=0 \\ \dfrac{4c^2}{x^2}+\dfrac{4bc}{x}+4ac=0 \\ \dfrac{4c^2}{x^2}+\dfrac{4bc}{x}=-4ac \\ \dfrac{4c^2}{x^2}+\dfrac{4bc}{x}+b^2=b^2-4ac\\ \left( \dfrac {2c}{x}+b \right)^2=b^2-4ac \\ \dfrac {2c}{x}+b= \pm\sqrt{b^2-4ac} \\ \dfrac {2c}{x}=-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \\ \color{#c00}{\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{x_{1,2}= \dfrac{2c}{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}}}$$
Prueba de la fórmula general
Vamos a reescribir la conocida fórmula general de la siguiente manera:
$$\dfrac{-b\color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-b\color{red}{\mp}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Si aceptamos $c\neq0$, entonces tenemos:
$ \dfrac{2c}{-b\color{blue}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}}=\dfrac{-b\color{red}{\mp}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \begin{align} \Longleftrightarrow \left(-b\color{blue}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}\right) \times \left(-b\color{red}{\mp}\sqrt{b^2-4ac}\right) &=4ac\\ \Longleftrightarrow -\left(b\color{blue}{\mp}\sqrt{b^2-4ac}\right) \times \left( -\left(b\color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}\right)\right)&=4ac\\ \Longleftrightarrow \left(b\color{blue}{\mp}\sqrt{b^2-4ac}\right) \times \left(b\color{red}{\pm}\sqrt{b^2-4ac}\right)&=4ac\\ \Longleftrightarrow b^2-\left(b^2-4ac\right)&=4ac\\ \Longleftrightarrow 4ac&=4ac . \end{align}$
Insuficiente punto de la fórmula
Ya hemos aceptado $x \neq 0$ antes, esta fórmula no puede trabajar por completo para $c = 0.$
Si $c=0$, entonces tenemos:
$x_1=\dfrac {0}{-2b}=0$ lo que implica, una de las raíces es correcta.
$x_2=\dfrac {0}{0}=\text{undefined}$ que implica, la segunda raíz es incorrecta.
Curioso puntos de la fórmula
Estos son puntos muy interesantes para un ignorante como yo. Por otro lado, ellos son triviales.
Si el $\Delta$ $\left(\text{Discriminant}\right)$ es cero, entonces no es exactamente una raíz real, a veces llamado la repetición de una o doble raíz.
$\Delta=b^2-4ac$ $~$ o $~$ $D=b^2-4ac$ $~$ e $~$ $D=0$, entonces tenemos :
A partir de la fórmula $~$ $\color{blue}{x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$,
$$\color{blue}{x}=x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}=\color{blue}{-\dfrac{b}{2a}}$$
A partir de la fórmula $~$ $\color{#c00}{x_{1,2}= \dfrac{2c}{-b\pm\sqrt{D}}}$,
$$\color{#c00}{x}=x_1=x_2=\dfrac{-2c}{b}=\color{#c00}{-\dfrac{2c}{b}}$$
que ambos son iguales.
$$\begin{align} \color{blue}{x}=x_1=x_2=\color{blue}{-\dfrac{b}{2a}} \color{black}{=} \color{#c00}{-\dfrac{2c}{b}}\Longrightarrow b^2=4ac \Longrightarrow b^2-4ac=0.\end{align}$$
La fórmula original no funciona para $a = 0$. Sin embargo, la alternativa a la fórmula también funciona al $a = 0$. El punto importante es que debemos tener cuidado de no hacer el denominador cero. En otras palabras,
Si $a=0$ e $b>0$ luego escribimos:
$$x=\dfrac{2c}{-b-\sqrt{b^2}}=-\dfrac {c}{b}$$
Si $a=0$ e $b<0$ luego escribimos:
$$x=\dfrac{2c}{-b+\sqrt{b^2}}=-\dfrac {c}{b}$$
Mi pregunta
Tal vez en algunos casos especiales, puede que esta fórmula es más útil que su propia alternativa? (Supongo que la fórmula que he encontrado aquí es correcta.)
