Es el número de 100k+11 un cuadrado?

Question

Es el número de 100k+11 un cuadrado?

Obviamente todos esos números terminan en 11. Puede un extremo cuadrado con un 11?

Answer 1

Deje que $a^2=100\cdot k+11$. Entonces fácilmente $$ debe ser impar.
Por lo que $(2n+1)^2=100\cdot k+11$. De ello se desprende $2(n^2+n)=50\cdot k+5$, lo cual es imposible.

Answer 2

Todos los números de esta forma son congruentes $11 \pmod 4 \equiv 3 \pmod 4 $. Ahora buscar un ejemplo de la lista muy pequeña de residueclasses de esa forma que es también un cuadrado...

Answer 3

No. Sólo los números impares terminando con 01, 09, 21, 25, 29, 41, 49, 61, 69, 81, y 89 son cuadrados. Voy a dejar la prueba.

Answer 4

Vamos a probar algo más general resultado que $100k +\bar{ab}$ donde $a$ y $b$ son impares dígitos no puede ser un cuadrado. Nuestro argumento se basa en la reductio ad absurdum:

$c^2=100k +10a+b$

$b$ es impar $\Rightarrow c \text{ es impar}$ $$\Rightarrow (2n+1)^2 = 100+10(2l+1)+(2m+1)\\ \Rightarrow 2(n^2+n)=50k+5(2l+1)+m$$

El lado izquierdo está, incluso, por el lado derecho debe ser así; esto significa que m debe ser impar.

$$\Rightarrow m=2j+1 \\ b<10\Rightarrow j=0\text{ O }1\\ \Rightarrow n(n+1)=25k+5l+3+j$$

La mano izquierda puede ser de $0,1,2$ modulo $5$; pero el lado derecho sería de $3 \text { O }4$ modulo $5$, lo cual es una contradicción.

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Para hacer la última declaración más clara; elaboramos como:

$$n(n+1)\mod5=\begin{casos} 0 & n\equiv0\text{ 4}\\ 1 & n\equiv2\\ 2 & n\equiv1\text{ 3} \end{casos}$$

Answer 5

Sugerencia: Escribir $x=100y+z$; $x^2=100(100y^2+2yz)+z^2$. Puede que usted tiene $x^2=100k+11$? Es decir, $z^2\equiv 11\pmod{100}$.