Principio de incertidumbre para la transformada de Mellin

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{C}$ . Sea $Mf$ sea su transformada de Mellin: $Mf(s) = \int_0^\infty f(x) x^{s-1} dx$ .

(a) Hace algún tiempo, me convencí de que $f(t)$ , $Mf(\sigma+it)$ y $Mf(\sigma-it)$ no pueden disminuir todos más rápido que exponencialmente como $t\to +\infty$ . Esto debe ser una variación de la versión de G. H. Hardy del principio de incertidumbre. ¿Supongo que esto es bien conocido? ¿Alguien tiene una referencia? ¿Alguien conoce una prueba fácil (que pueda ser esbozada aquí)?

(b) El ejemplo $f(t) = e^{-t^r}$ muestra que $f(t)$ puede hacerse decrecer mucho más rápido que exponencialmente, mientras que $Mf(\sigma+it)$ y $Mf(\sigma-it)$ siguen disminuyendo exponencialmente (es decir $\sim e^{-(\pi/2r) |t|}$ - es decir, el exponente se degrada a medida que $r$ aumenta). ¿Es esto óptimo en algún sentido? Es decir, ¿se puede demostrar que, si $f(t)$ disminuye más rápido que $e^{-t^r}$ por cada $r$ entonces $Mf(\sigma+it)$ y $Mf(\sigma-it)$ ¿no pueden ambos disminuir exponencialmente?

Answer 1

Combinando la idea de Steve con el principio de incertidumbre de Beurling-Hormander se obtiene el tipo de resultado que buscas.

El BHUP es el siguiente:

Principio de incertidumbre de Beurling-Hormander: Si $f\in L^1(\mathbb{R})$ y $$ \int\int_{\mathbb{R}^2}|f(x)\hat f(y)|e^{|xy|}dxdy<\infty, $$ entonces $f=0$ .

Como corolario, tenemos un resultado del tipo del principio de incertidumbre de Hardy:

Corolario: Si $\phi(x)$ y $\psi(y)$ son conjugados convexos (por lo que $\phi(x)+\psi(y)\geq xy$ ), y si $$\int_{-\infty}^\infty|f(x)|e^{\phi(x)}dx<\infty\quad\mbox{and}\quad\int_{-\infty}^\infty |\hat f(y)|e^{\psi(y)}dy<\infty,$$ entonces $f=0$ .

Estos teoremas se plantean para $\hat f(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ixy}dx$ . Tenga en cuenta que $\psi(y)$ es esencialmente la transformada de Legendre de $\phi(x)$ : $$\psi(y)=\sup_x xy-\phi(x).$$

Además, hay que tener en cuenta que podemos ignorar una parte acotada del dominio de $\hat f$ , ya que $|\hat f(y)|\leq\Vert f\Vert_1$ .

Ahora, como dijo Steve, establecer $f(x)=g(e^{-x})$ tenemos $\hat f(y)=Mg(iy)$ . Tenga en cuenta que $f\in L^1(\mathbb{R},dx)$ si y sólo si $g\in L^1(\mathbb{R}_{>0},\frac{dx}x)$ . Así, la BHUP para las transformadas de Mellin es la siguiente:

BHUP para las transformadas de Mellin: Dejemos que $g$ sea una función en $L^1(\mathbb{R}_{>0},\frac{dx}x)$ .

Si $$ \int_0^\infty\int_{-\infty}^\infty |g(x)||Mg(iy)|e^{|\ln(x)\cdot y|}\frac{dx}{x}dy<\infty,$$ entonces $g=0$ .

Si $\phi(x)$ y $\psi(y)$ son funciones tales que $\phi(x)+\psi(y)\geq xy$ , entonces el resultado del tipo del principio de incertidumbre de Hardy se traduce en:

Corolario: Si $$\int_0^\infty |g(x)|e^{\phi(-\ln x)}\frac{dx}x<\infty\quad\mbox{and}\quad\int_{-\infty}^\infty |Mg(iy)|e^{\psi(y)}dy<\infty,$$ entonces $g=0$ .

Supongamos ahora que $g$ es una función no nula en $L^1(\mathbb{R}_{>0},\frac{dx}x)$ tal que $|g(t)|=O(e^{-t^r}/t^\delta)$ para algunos $\delta>0$ . Si elegimos $\phi(x)=e^{-rx}$ entonces

$$\int_0^\infty |g(x)|e^{\phi(-\ln x)}\frac{dx}x <\infty.$$

Así, $Mg(it)$ no puede decaer (significativamente) más rápido que $|t|^{-1}e^{-\psi(t)}$ , donde $\psi(t)$ es (algo así como) la transformada de Legendre de $e^{-rx}$ . Lo que necesitamos es $\psi(t)\geq |xt|-e^{-rx}$ para todos $t$ fuera de algún intervalo. Creo que tomar $$\psi(t)=\frac{|t|}r \ln\left(\frac{|t|}r\right)-\frac{|t|}r\qquad\mbox{for}\quad |t|>r$$ funciona.

Así, como $t\to\infty$ , $|Mg(\pm it)|$ no puede decaer más rápido que aproximadamente $e^{-\frac tr\ln\frac tr}$ .

Esto no es tan agudo como esperabas, pero probablemente no he hecho el análisis más cuidadoso.

Answer 2

Hay algo que los posts anteriores pasaron por alto (quizás porque la redacción no lo hizo explícito): la condición de la función $f(x)$ es unilateral (es decir, asume algo en el decaimiento como $x\to \infty$ no como $x\to -\infty$ ), y por lo tanto, una vez que tomamos logaritmos para convertir la transformada de Mellin en una transformada de Fourier, terminamos con una condición unilateral también.

Ahora bien, existen versiones unilaterales del principio de incertidumbre, especialmente la de Nazarov (1993); véase también Bonami y Demange (2006). Al final, resulta que lo mejor es reelaborar las pruebas dadas allí para obtener un principio de incertidumbre para la transformada de Mellin de la forma que estaba pidiendo. Y sí, uno obtiene algo esencialmente óptimo de esa manera, sin factores espurios de log en el exponente.