Geodesics en la esfera

Question

En unos días voy a estar dando una charla a (smart) para los estudiantes de escuela secundaria sobre un tema que incluye un breve resumen sobre las nociones de la curvatura y de gedesic líneas. Como ejemplo, voy a hablar de las rutas de vuelo y, más en general, de menor longitud de arcos de la 2-dimensiones de la esfera.

Aquí está mi pregunta: vamos a $p,q$ ser distintas (y, por simplicidad, no antipodal) puntos en la esfera de la $S^2$. Hay una escuela primaria prueba de que el hecho de que el único camino más corto entre la $p$ e $q$ es el más corto de arco en la única gran círculo con $p$ e $q$?

Por "elemental" me refiero a un (posiblemente no completamente formal, pero de alguna manera convinving) argumento de que podría ser entendido por un estudiante de secundaria. Por ejemplo, los antiguos Griegos saber que la geodesics de la esfera son grandes círculos, y, si es así, ¿cómo se `prueban" que este hecho?

Aquí es la mejor explicación que vino a mi mente hasta ahora. Deje $\gamma\colon [0,1]\to S^2$ ser de cualquier camino, y vamos a $\gamma(t_0)=a$. La mejor plana aproximación de $\gamma$ todo $a$ está dado por la proyección ortogonal de $\gamma$ en el espacio de la tangente $T_a S^2$. Esta proyección es una línea recta (es decir, una longitud minimizar camino de $T_a S^2$) sólo si $\gamma$ es compatible en un gran círculo con $a$. Esto suena bastante convincente, y con un poco de geometría diferencial no es difícil vuelta a este argumento en una prueba. Sin embargo, me preguntaba si yo podría hacer mejor...

Answer 1

Imagina que la esfera es la superficie de la tierra, y que ocurre un terremoto en el polo sur, punto de $p$. Una onda sísmica que sale desde el punto de $p$, de modo que el frente de onda es un círculo de latitud en movimiento a una velocidad constante $c$. En algún punto de este círculo/ola de encontrar el punto de $q$ (digamos que $q$ se encuentra en el continente de la Antártida, por lo que la onda sísmica acceder a ella). Para cualquier camino de $p$ a $q$, volando a lo largo de este camino a la velocidad de la $c$, empezando en el momento del terremoto, nunca va a superar a la de la onda, y mantendrá un ritmo de sólo si coincide con la línea de la longitud va a través de $q$.

Subyacente a esta explicación física es de Gauss, lema, a partir de la cual un riguroso cálculo argumento puede ser extraído. Pero tal vez esta intuición es suficiente para convencer a un estudiante de secundaria, o al menos hacer pensar acerca de por qué podría ser verdad?

Answer 2

Antiguos no conocían las integrales de línea, pero entendieron que la longitud de la curva es el límite de la longitud de los inscritos líneas discontinuas. Para demostrar la desigualdad de las líneas discontinuas (trozos grandes círculos), es suficiente para demostrar que un lado de un pequeño triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos lados. Esto puede hacerse utilizando la trigonometría esférica, que los antiguos sabían.

El esférico coseno teorema dice $$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\,$$ donde $a,b,c$ son lados y $A$ es el ángulo entre el $b$ e $c$. La estimación de este desde abajo (coseno es decreciente) reemplazamos $\cos A$ por $-1$, y obtener $$\cos a\geq \cos b\cos c-\sin b\sin c=\cos(b+c),$$ por lo tanto, $a\leq b+c.$

Esférica teorema del coseno es antigua pero relativamente tarde (después de la época de Arquímedes), pero también se puede dar un elemental-prueba geométrica del triángulo de la desigualdad de la esféricos pequeños triángulos. Todo lo que uno necesita es que tres ángulos en el vértice de un 3 con cara de cono (o pirámide) satisfacen la desigualdad de triángulo.

Answer 3

Si los estudiantes de secundaria están tomando, o ha tomado ya, Cálculo I, y saber diferenciar, entonces yo sería el uso de la noción de aceleración. Me gustaría empezar por preguntar: ¿qué es una línea recta en el plano? Una manera de caracterizar es como la solución a la ecuación diferencial $$ \gamma"(t)=0, $$ donde $\gamma(t)=(x(t), y(t))$. En particular, se puede comprobar que $(a+bt, c+dt)$ los rendimientos de una solución. Por lo que las líneas son curvas sin aceleración. Por lo tanto en la esfera analógica de un segmento de línea, o el más recto de la curva sea posible, puede ser considerado como una curva con ninguna aceleración en la esfera. Más precisamente, queremos que el vector de aceleración a ser ortogonal a la esfera, o paralela al vector de posición. Así que tenemos que resolver la ecuación $$\gamma''(t)||\gamma(t),$$ donde $\gamma(t)=(x(t), y(t), z(t))$, y uno comprueba rápidamente que los grandes círculos, por ejemplo, $(\cos(t),\sin(t), 0)$ el rendimiento de una solución. Para remachar el punto más, me gustaría dibujar una línea recta en un pedazo de papel y, a continuación, enrollar el papel a un cilindro de mostrar que el vector de aceleración sigue siendo ortogonal a la superficie bajo isométrica deformaciones. Más precisamente, las líneas rectas se convierten en hélices $(\cos(t), \sin(t), h\,t)$, donde, de nuevo, uno puede comprobar rápidamente que $\gamma''(t)$ es paralelo a $(\cos(t), \sin(t),0)$ y por lo tanto es ortogonal al cilindro.

Answer 4

Siempre he encontrado el siguiente argumento, la más atractiva, intuitiva.

Imaginar la esfera es hueca. Obviamente, el camino más corto de $p$ a $q$ es una línea recta a través del interior de la esfera. (Siempre me imagino que sólo embestida de una aguja de tejer a través de él.)

Ahora, por supuesto, la cuestión no es encontrar la ruta más corta en general, pero la ruta más corta sobre la superficie de la esfera. Es intuitivamente claro que este será el camino que sigue la 'verdadera' de la ruta más corta lo más cerca posible. ¿Cómo nos encontramos con que?

Bien imagínese a una fuente de luz en el centro de la esfera. La ruta de acceso en la superficie más cercana a la línea recta que atraviesa el interior es simplemente la sombra de la línea recta.

Lo que queda por ver es que esto es parte de un gran círculo, pero que es fácil: la sombra de la ruta de acceso' es la intersección de la esfera con el plano definido por los tres puntos $p$, $q$ y en el centro.

Answer 5

No sé que estos son correctos o no.

1. La forma más sencilla (en la práctica ) que vienen a mi mente es el siguiente truco. Considere dos puntos de $p$ e $q$ sobre la esfera. conecte una línea recta (línea de poderoso imán) en $\Bbb R^3$ , a continuación, utilizando algunas de las limaduras de hierro se puede ver la huella de las limaduras de hierro en la esfera como el menor arco entre estos dos puntos.
2. La segunda manera para este propósito, creo que la proyección estereográfica de polo norte $N$ sería de gran ayuda. Gira la esfera tal que las proyecciones de $p$ e $q$ debajo de la proyección estereográfica ($\sigma(p)=p'$ e $\sigma(q)=q'$) junto polo sur $S$ se encuentra en una línea (es decir, $Sp'q'$). entonces la inversa de la imagen de este segmento de la línea representa el menor arco entre $p$ e $q$ (por supuesto no antipodality se supone).