la función de campo de la analogía y el mundial/la geometría absoluta

Question

El "campo de función de la analogía" parece ser un tema que es considerablemente más grande que cualquier valoración crítica existente transmite. Hay varios vieja pregunta sobre MO y MathSE que pregunte por los detalles. Uno de los más destacados respuestas que se ha dado aquí y consiste simplemente un puntero a lo que es tal vez el único lugar en el que se establece para producir una tabla con el listado de algunos estados clave, a saber, Poonen de notas de la conferencia (pdf, véase la sección 2.6).

Mientras que dicha tabla es muy necesario (como demuestran de manera concluyente por 35 upvotes, y contando) me parece que no tendría que eventualmente ser mucho más que poner en ella, con el fin de hacer justicia al tema. En particular, la tabla debe tener una tercera columna, además de la aritmética geometría sobre los campos de número y función de los campos, a saber, la columna de curvas complejas/superficies de Riemann, que trae el geométrica Langlands correspondencia en la imagen. Y sería bueno para una tabla de hipervínculo, ya que habría mucho que decir sobre cada una de sus entradas.

En resumen, que me motivó a empezar a intentar compilar un

• la función de campo de la analogía-tabla

en el $n$Laboratorio. Tengo en algún lugar, pero aún hay camino por recorrer. Tengo algunas preguntas, también. (Y me gustaría subrayar que nada en esta tabla se entiende como la reivindicación de la mina, todo me está tratando de reproducir lo que se conoce. Si hay algo que parece indignante, entonces este es un error de mi parte y voy a hacer mi mejor esfuerzo para resolverlo.)

Así que, en general, la pregunta es: ¿esta mirada sobre la derecha? Y: lo que parecen ser evidentes omisiones. (Soy consciente de algunos, pero espero oír de los que no soy consciente de que aún.)

Pero también tengo esto un poco más concreto pregunta:

Desde un punto de vista de la búsqueda de $\mathbb{F}_1$ es la búsqueda de una sistemática de la teoría que habría de promover la función de campo de la analogía de una analogía de un bien controlados cambio de base, lejos de la $\mathrm{Spec}(\mathbb{F}_1)$. La idea que se expresa por ejemplo aquí en otro anterior MO discusión de este punto. Sin embargo, cuando voy a escanear la literatura en $\mathbb{F}_1$ entonces veo un montón de discusión de zeta funciona a través de estas distintas bases, pero poco sobre la mayor parte del resto de la función de campo de la analogía de la tabla. ¿Existentes $\mathbb{F}_1$-teoría tiene mucho que decir aquí? Por ejemplo, la primera línea de la (o!) la función de campo de la analogía de la tabla de estados que $\mathbb{Z}$ es análoga a $\mathbb{F}_q[x]$ y en cierta medida, por lo que "como $q \to 1$". Así que desde el punto de vista de la función de campo de la analogía parece que el centro de solicitud de la teoría de la $\mathbb{F}_1$ sería para dar lugar a una verdad que se lee en los símbolos como "$\mathbb{Z} \simeq \mathbb{F}_1[x]$", lo que hace de esta verdad. Veo que algunas personas hacen esperar sólo esto a partir de una teoría de la $\mathbb{F}_1$ (por ejemplo, en la primera nota de pie de página aquí). Sin embargo, lo que he visto como las propuestas actuales para $\mathbb{F}_1[x]$ parece ser dirigido en una dirección diferente. A menos que me haya perdido algo, por supuesto, y mi pregunta es: soy? El enfoque que a $\mathbb{F}_1$ debo mirar para la función de campo de la analogía de los efectos más allá (y que probablemente significa: antes de) funciones zeta?

Finalmente, para cerrar una larga y vaga pregunta con algo mucho más amplio, sólo para aquellos que puedan disfrutar de ella (todos los demás por favor deja de leer): lo que yo soy, finalmente, después es una respuesta a mi viejo MO pregunta p-Ádico Teoría de la Cuerda y la Cadena de la orientación Topológica de las Formas Modulares (tmf). Es decir, hay muchos indicios de que ya en la teoría de cuerdas, que un campo de función de la analogía de la base cambiarnos de curvas complejas con la aritmética geometría más de $\mathbb{F}_1$ juega un papel, que me gustaría tener una buena teoría matemática de la analogía que permita poner estos consejos junto a una buena frase. Por ejemplo, en busca de la solicitud o de la simetría geométrica Langlands como en Gerasimov-Lebedev-Oblezin 09 hace que uno desea preguntar: "¿Qué es un sigma modelo en $\mathbb{F}_1$-geometría?" Me pregunto cómo la medida de $\mathbb{F}_1$-teoría-o tal vez mundial de geometría analítica? -- puede haber llegado a este respecto, o lo que la perspectiva parece ser. Esto es incluso en la línea de la vista de la presente investigación en $\mathbb{F}_1$? Si no: ¿qué es, si nada?

Answer 1

Creo que la cosa más grande que falta en esta tabla es la imagen geométrica sobre la función de los campos. Casi todo bajo el "complejo superficie de Riemann" en su mesa tiene sentido para curvas algebraicas sobre un campo arbitrario.

Pero, por supuesto, si usted va tan lejos como para dividir la función de campo de caso en dos columnas, la primera y la segunda columna de la tabla sería casi idéntica, como sería la tercera y cuarta columna, que sería un desperdicio.

Sin embargo, esto no representa la manera en que la función de campo de la analogía que realmente funciona. Suele pasar de los campos de número a la función de los campos es un simple paso de la contabilidad (cambio de notación para los mismos conceptos), y avanzando en la geometría de las curvas de un campo a otro es de nuevo la teneduría de libros, pero de paso de la aritmética, de la geometría a través de un único campo requiere de cierto conocimiento, aunque generalmente simple.

Segundo, creo que muchos matemáticos trabajando en la teoría de números se muestran escépticos de $\mathbb F_1$-teoría y prefieren mantener una analogía. Una razón es que la analogía puede fallar si usted mira en los lugares equivocados. Si $\mathbb Z= \mathbb F_1[t]$, lo $\mathbb F_1[t^2]$? También considerar la zeta funciones de estos campos. La Riemann zeta función tiene un número infinito de ceros, mientras que la función zeta de $\mathbb F_q(t)$ no tiene ninguno. Para el estudio de los ceros de la de Riemann zeta función en el campo de función del modelo, los matemáticos pasar el límite de infinitamente grande $g$. James Borger también señaló los problemas con el discriminante.

Tan claramente en la traducción de las preguntas entre el campo de función y campo de número de mundos algunos que la discreción es necesaria.

Similar a este de todos los actualmente existentes $\mathbb F_1$-teorías tienen algún tipo de problema en el que no encaja con nuestra idea intuitiva de lo que es un $\mathbb F_1$-teoría debe parecer - de hecho creo que es conocido por ser contradictorias. Sin duda el buen trabajo matemático se puede hacer mediante la búsqueda de soluciones inteligentes y hábilmente evitando estos problemas, y podría ir tan lejos como para resolver por completo o hacer avanzar a otra manera inextricable número de problemas de campo.

Tercer permítanme decir que, sin saber mucho acerca de la teoría de las cuerdas, me parece que tu otra pregunta no debe extenderse a estos problemas. De hecho, parece ser que se trate sólo con (varias formas sofisticadas de análisis y de integración a través de estos campos. Las identidades de las integrales y cosas como las que tienden a traducir muy bien entre los diferentes contextos, una vez que usted haya encontrado la manera correcta de mirar a ellos, los he visto muchos ejemplos de esto. Pero no tengo ninguna idea de qué hacer en su problema particular.