¿Por qué no evaluar las integrales de utilizar la educación a distancia-los solucionadores?

Question

Hola!

Tengo una pregunta acerca de la relación entre integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE). Supongamos que queremos evaluar la integral $I(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ donde $f$ es una función continua, para algunos fijos $x = x_{0}$. Desde el teorema fundamental del cálculo I debe ser capaz de evaluar esta integral mediante la resolución de un problema de valor inicial $\dot{I} = f(x)$, $I(0) = 0$, $x\in(0,x_{0}]$ a la derecha? Sin embargo, rara vez he visto este método implementado, en lugar de uno de los usos especializados de integración numérica de los códigos. ¿Cómo ven?

Saludos Anne

Answer 1

Aquí está mi opinión sobre el asunto: la diferencia de la filosofía entre la cuadratura de las rutinas y la educación a distancia la solución de rutinas, creo yo, es este:

La extrapolación es más riesgosa que la interpolación.

Recuerde que cuadratura numérica de las rutinas de todos se reducen a la aproximación de su presumiblemente más complicado integrando en el intervalo de integración con algo más fácil de integrar exactamente, y, a continuación, la integración de eso. Por ejemplo, Newton-Cotes (y, en esencia, de Romberg así) construye una interpolación polinomial de su integrando con equispaced abscissas, y la integración de eso. Para Gaussiana o Clenshaw-Curtis cuadratura, es equivalente a la interpolación de la función en "especialmente espaciados" abscissas (polinomio de Legendre raíces en la antigua, y el polinomio de Chebyshev raíces en la segunda) que tienen una mejor convergencia en el límite. En efecto, podemos ejecutar bajo el supuesto de que la interpolación de la función se comporta de manera muy similar a la real integrando en el intervalo de interés que una cantidad suficiente de muestreo en el intervalo de integración debería ser suficiente para capturar el comportamiento de sus integrando, y así dar un resultado esperemos que cerca del valor real de la integral.

En contraste, recuerde que las soluciones ODE normalmente sólo tienen valores iniciales para comenzar con. La razón para su construcción en un lote de maquinaria en las actuales soluciones ODE, si los métodos de Runge-Kutta, Bulirsch-Stoer, Adams/Engranaje de varios pasos, o de algunos de los más llamativos son las técnicas modernas, es que la extrapolación es inherentemente inestable. Saber cómo la solución se ve como en el principio da ninguna garantía de cómo se comportará como el ODE solver marchas; la solución puede ser violentamente oscilatorio, o en descomposición muy rápida (lo que se llama la "rigidez" de los problemas). Por lo tanto, hay una gran cantidad de código inscrito en la moderna ODE solver para comprobar lo razonable son el paso de los tamaños que se están tomando, y otros fallos.

Como lo mencioné en algunos comentarios anteriores, algunos ODE los métodos de solución son equivalentes a los métodos de cuadratura cuando se aplica a la inicial-el problema del valor en $y^{\prime}=f(x)$: utilizando clásico de Runge-Kutta de cuadratura es equivalente a realizar la regla de Simpson, por ejemplo.

El punto es que las soluciones ODE tienden a ser más cuidadoso ("de puntillas", si se quiere) y por lo tanto más esfuerzo intensivo de cuadratura numérica rutinas porque no hacer suposiciones sobre cómo el integrando se comporta. En esa nota, he de decir que usted debe saber que hay integrands (y los correspondientes intervalos) donde a través de un ODE solver podría tener más sentido que el uso de una cuadratura numérica de rutina. Un ejemplo que viene a la mente: si usted sabe (a través de gráficos, por ejemplo) que el integrando tiene loco comportamiento en un relativamente pequeño intervalo en el intervalo de integración, mientras que el muestreo realizado por una cuadratura numérica rutina podría perder esas características (o tomar un largo tiempo para darse cuenta de ellos), un ODE solver tendrán que ser cuidadosos para empezar y es menos probable que se pierda el loco de comportamiento, y se reducirá paso tamaños según corresponda, hasta que haya pasado ese intervalo.

Answer 2

Su idea no es mala, y hay muchas conexiones entre las teorías de la integración numérica y las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ejemplo, el de Gauss-Legendre de los métodos para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias se reduce a la de Gauss-Legendre método de integración numérica.

Sin embargo, la ecuación diferencial $\frac{dI}{dx}=f(x)$ tiene una forma especial (la forma general es $\frac{dI}{dx}=f(x,I)$) que puede ser explotada por los métodos. Por lo tanto, el de Gauss-Legendre método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias es un método implícito que tiene que resolver una ecuación algebraica en cada paso, pero este problema desaparece cuando se aplica a una educación a distancia de la forma $\frac{dI}{dx}=f(x)$. Por otra parte, al evaluar una integral numérica, se puede dividir el intervalo de integración en dos trozos y añadir a la resultante de las integrales sobre las dos subintervalos. Usted puede hacer lo mismo con una inicial-el problema del valor, porque la solución a través de la primera subinterval le da la condición inicial para la segunda subinterval. Esto significa que es más difícil de implementar métodos de adaptación para las Odas que para las integrales.

Por estas razones, y las mencionadas por Ricky Vacaciones, métodos escrito específicamente para evaluar las integrales se desempeñan mejor que los métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

Answer 3

Una vez que enseñar a los análisis numérico, usted reckognize que algunos problemas están relacionados. Este es su caso: Odas vs integrales. Este es también el caso de las raíces de polinomios vs autovalores de matrices (a través de la compañera de la matriz). Resulta que la actitud ingenua es generalmente mal. Por ejemplo, calcular el polinomio característico primero, y luego la solución de la ecuación polinómica es el camino equivocado para calcular los autovalores de una matriz. En lugar de ello, hacemos uso de los QR método para el autovalor problema para el que el compañero de la matriz, con el fin de encontrar las raíces de un polinomio univariado.

El mismo es verdad. Hacemos uso de métodos numéricos para el cálculo de las integrales para el diseño de métodos eficientes para la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias. No a la inversa. Esta es una cuestión de estabilidad.

Answer 4

Sí, la integración de la educación a distancia implica la extrapolación considerando que la integración de funciones implica la interpolación. Tomemos, por ejemplo, el de Euler método, estamos proyectando la pendiente en el punto inicial y asumir que se aplica durante todo el tiempo que paso (que obviamente no es el caso, en general). Peor aún, los errores se acumulan a través de los pasos de tiempo. Es decir, el valor de inicio para el 2º paso de tiempo es inexacta para empezar.

Integración de funciones implica la interpolación de un cierto polinomio de ajuste en los valores funcionales y evaluar el área bajo que el polinomio.

De hecho, muchos investigadores han tratado de aplicar la integración funcional de los métodos para la integración de las Odas y no al revés! Sabemos que la cuadratura de Gauss es uno de los más eficientes y precisas para la integración numérica de las técnicas de alrededor. Varias soluciones ODE se basan en el método de Gauss - por ejemplo, el totalmente implícito de Gauss-Legendre método desarrollado por Hollingsworth (1955) y más tarde generalizado por Butcher (1964) para las órdenes arbitrarias como los métodos de Gauss (implícito de Runge-Kutta de procesos).

Todavía más adelante, tal implícito de Runge-Kutta de los procesos se muestra a ser idéntica a la colocación de los métodos (Wright, 1970).