Deje $\mathcal{V}_n$ ser la colección de todos los grupos de satisfacciones $(ab)^n=a^nb^n$ para todos los $a,b$.
En particular, $\mathcal{V}_1$ se compone de todos los grupos y $\mathcal{V}_2$ se compone de todos los abelian grupos, y está contenida en $\mathcal{V}_n$ para todos los $n$.
Para que coprime enteros $n,m$ es $\mathcal{V}_n\cap\mathcal{V}_m$ reduce a abelian grupos?
Asumo $m,n>1$.
(Editado para mejorar la legibilidad)
Un grupo se dice que es "$n$-abelian" si $(xy)^n=x^ny^n$ para todos los $x,y\in G$. Tras la pregunta, vamos a $\mathcal{V}_n$ denotar la variedad de todas las $n$-abelian grupos, y deje $\mathcal{A}b$ denotar la variedad de todos los abelian grupos.
La estructura de $n$-abelian grupos se determinó por Alperin: son los homomórfica imágenes de los subgrupos de productos directos de un grupo abelian, un grupo de exponente $n$, y un grupo de exponente $n-1$.
Por otro lado, dado un grupo de $G$ definimos el "exponente semigroup de $G$" a ser $$\mathcal{E}(G) = \{n\in\mathbb{Z}\mid (xy)^n=x^ny^n\text{ for all }x,y\in G\}.$$ Este es un multiplicativo semigroup de la semigroup de enteros bajo la multiplicación. Su estructura fue determinada por F. W. Levi, y también por Luise-Charlotte Kappe. Este último también se exploran los conceptos relacionados de $n$-Levi grupos (los grupos para los que $[x^n,y]=[x,y]^n$ para todos los $x,y\in G$) y $n$-la Campana de los grupos (los grupos para los que $[x^n,y]=[x,y^n]$ para todos los $x,y\in G$). La estructura de la semigroup de $n$s para que un determinado $G$ es $n$-Levi (resp. una $n$-Bell) el grupo es el mismo que para el exponente semigroup.
Kappe define un Levi sistema a ser un subconjunto de los números enteros que satisfacen las siguientes cinco condiciones:
Kappe demuestra que un subconjunto de los números enteros es $\mathcal{E}(G)$ para algunos $G$ si y sólo si es $\{0,1\}$, o es un Levi sistema.
Podemos soltar $\gcd(m,n)=1$ a partir de la hipótesis. La respuesta a la pregunta es:
Teorema. Deje $m,n>1$. A continuación, $\mathcal{V}_n\cap\mathcal{V}_m=\mathcal{A}b$ si y sólo si $\gcd(n^2-n,m^2-m)=2$.
Tenga en cuenta que $2$ divide $n(n-1)$ e $m(m-1)$, por lo que el mcd es, al menos, dos.
Prueba. Si $p>2$ es una extraña primer que divide $\gcd(n^2-n,m^2-m)$, luego de un nonabelian grupo de exponente $p$ es tanto $n$-abelian y $m$-abelian. Del mismo modo, si $4$ divide $\gcd(n^2-n,m^2-m)$, luego de un nonabelian grupo de exponente $4$ es tanto $n$-abelian y $m$-abelian (desde $2$ dividirá bien $n$ o $n-1$, pero no tanto, y del mismo modo $m$ o $m-1$, pero no tanto). Por lo que la condición es necesaria.
Por el contrario, asumen $\gcd(n^2-n,m^2-m)=2$, y deje $G\in\mathcal{V}_n\cap\mathcal{V}_m$. A continuación,$n,m\in\mathcal{E}(G)$, por lo que el último es no sólo $\{0,1\}$, y por lo tanto debe ser un Levi sistema. Deje $w$ ser el entero positivo garantizado por la propiedad 4. A continuación, $n^2\equiv n\pmod{w}$ e $m^2\equiv m\pmod{w}$, por lo tanto $w=1$ o $w=2$.
Si $w=1$, entonces, por $n\equiv k\pmod{1}$ para todos los $k$, se deduce que el $\mathcal{E}(G)=\mathbb{Z}$, lo $G$ es abelian. Si $w=2$,, a continuación,$2\in\mathcal{E}(G)$, lo $G$ satisface $(xy)^2=x^2y^2$, una condición conocida implicar que $G$ es abelian. Por lo tanto, $G\in\mathcal{A}b$ en ambos casos. $\Box$
Tomo nota de que el Teorema 2 en Kappe del documento también se da este resultado. Dado un subconjunto $T$ de enteros que se incluye el $0$ e $1$, y de tal manera que si $m,n\in T$ entonces $k(n^2-n)+m\in T$ para todos los enteros $k$, el teorema proporciona varias condiciones equivalentes a $T=\mathbb{Z}$. Uno de ellos es la existencia de un subconjunto $U$ de % de $T$ tal que $\gcd(n^2-n\mid n\in U)=2$. Desde $\mathcal{E}(G)$ siempre cumple con estas condiciones, se deduce que el $m,n\in\mathcal{E}(G)$ e $\gcd(m^2-m,n^2-n)=2$ implica $\mathcal{E}(G)=\mathbb{Z}$, y, por tanto, $G$ es abelian.
Las referencias.
Alperin, J. L. Una clasificación de los n-abelian grupos. Canadá. J. Math. 21 1969 1238-1244. MR0248204 (40 #1458)
Kappe , L. C. n-Levi grupos. Arch. De matemáticas. (Basilea) 47 (1986), no. 3, 198-210. MR0861866 (88a:20048)
Levi, F. W. Notas sobre la teoría de grupos. VII. El idempotente residuo de clases y las asignaciones $\{m\}$. J. Indio De Matemáticas. Soc. (N. S.) 9, (1945). 37-42. MR0016414 (8,13 d)
Un hecho al azar: si $a\to a^3$ es un automorphism (por ejemplo, si $G$ es finito con el fin de no divisible por $3$), a continuación, $G$ es abelian.
Si $a\to a^{n+1}$ es un automorphism, entonces el conjunto de $k$ tal que $a\to a^k$ es un endomorfismo es una unión de clases conjugacy mod $n,$ incluyendo $0$ e $1$ de las clases.
Para los poderosos $p$-grupos, hay un montón de relativamente primos pares, se pueden construir.
Finalmente, Alperin muestra que un $n$-grupo abelian es una imagen homomórfica de un subgrupo de un producto directo de un grupo Abelian, un grupo de exponente $n$ y un grupo de exponente dividiendo $n-1.$, En particular, una de torsión libre de tal grupo abelian (a menos que comprenda el resultado), y si $m, n$ como en la OP son relativamente primos y $n-1$ e $m-1$ son relativamente primos, el grupo Abelian.
Referencias:
Trotter, H. F., Grupos en los que elevar a una potencia es un automorphism, Puede. De matemáticas. Bull. 8, 825-827 (1965). ZBL0135.05101.
Moravec, Primož, Schur multiplicadores y poder endomorphisms de grupos., J. Álgebra 308, Nº 1, 12-25 (2007). ZBL1120.20034.
Alperin, J. L., Una clasificación de las $n$-abelian grupos, Puede. J. Math. 21, 1238-1244 (1969). ZBL0213.29901.
Aquí hay un ejercicio que me dan a veces a mi primer año de estudiantes de posgrado en el álgebra como un reto problema.
Deje $\varepsilon_n$ ser la identidad de $(xy)^n=x^ny^n$. Mostrar que un conjunto de identidades de la forma $\{\varepsilon_{n_i}\;|\;i\in I\}$ implica la identidad de $xy=yx$ fib $$ \gcd\left\{\binom{n_i}{2}\;\bigg|\;i\in I\right\} = 1. $$
El primer estudiante que dio totalmente correcta solución fue David Wayne, en 2008. (Es un científico de datos en Boston.)
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
