$\newcommand{\C}{\mathcal{C}}\newcommand{\D}{\mathcal{D}}\newcommand{\op}{\mathrm{op}}$Me gustaría definir la noción de un yo-dual de la categoría, que debe significar una categoría isomorfo a su opuesto en una forma natural, y la noción de auto-dual functor entre estas categorías. Para una categoría $\C$, me indican por $\C^\op$ su opuesto categoría; para un functor $F \colon \C \to \D$ su opuesto functor es $F^\op \colon \C^\op \to \D^\op$; para una transformación natural $\eta \colon F \Rightarrow G$ I denotar $\eta^\op \colon G^\op \Rightarrow F^\op$ su opuesto transformación natural.
Definición. Un auto-dual categoría es una categoría $\C$, un functor $i_\C \colon \C \to \C^\op$, y un isomorfismo natural $$\epsilon_\C \colon i_\C^\op \circ i_\C \Rightarrow \mathrm{id}_\C.$$
Creo que esta es la "correcta" de la definición. (No del todo, ver a continuación). Un ejemplo sería el de $\C$ la categoría de finito dimensionales espacios vectoriales sobre un campo $k$, e $i_\C = \mathrm{Hom}(-,k)$. Ahora nos gustaría hablar acerca de functors ser auto-dual, lo que significa que viajan con la toma de dobles.
Definición. Un auto-dual functor $\C \to \D$ es un functor $F \colon \C \to \D$ natural y un isomorfismo $$ \eta \colon i_\D \circ F \Rightarrow F^\op \circ i_\C $$ la satisfacción de las siguientes coherencia condición: El diagrama de natural isomorphisms
$$\begin{matrix} F \circ i_\C^{\op} & \stackrel{\eta^{\op}}{\Rightarrow} & i_\D^{\op} \circ F^{\op} \\\\ \epsilon_D \Uparrow ~ ~ ~ & & ~ ~ ~ \Downarrow \epsilon_C^{\op} \\\\ i_\D^{\op} \circ i_\D \circ F \circ i_\C^{\op} & \stackrel{\eta}{\Rightarrow} & i_\D^{\op} \circ F^{\op} \circ i_\C \circ i_\C^{\op} \end{matrix}$$
los desplazamientos.
Toda esta definición es bastante un bocado y se siente como que alguien debe tener definido este cuidadosamente en algún lugar. Googlear para la auto-dual o autodual categorías produce varios éxitos donde la gente utiliza este término para las categorías isomorfo a su contrario, pero no he visto a nadie hablar de categorías que tienen un isomorfismo de una manera coherente. ¿Alguien sabe si hay una referencia? Tal vez este es un caso especial de una forma más general de la construcción?
