Dos (otros) anillos... ¿son isomorfos?

Question

Considere los anillos locales

$$R = \mathbb{C}[[x,y,z,w]]/\langle xyz+xyw+xzw+yzw\rangle$$

y

$$S = \mathbb{C}[[x,y,z,w]]/\langle xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw\rangle.$$

Es $R$ isomorfo a $S$ ?

Un poco de contexto : Estoy tratando de entender las vecindades formales de los puntos en ciertas variedades. Espero una respuesta y obtengo una respuesta diferente. Este es el primer caso no trivial en el que la respuesta que obtengo no coincide obviamente con la que espero.

Un poco de historia : En un post anterior ( Dos anillos... ¿son isomorfos? ), hice una versión de esta pregunta con una variable menos, y Bjorn Poonen señaló que los anillos son isomorfos porque sólo hay un tipo de punto doble racional. Creo que esto fue esencialmente un accidente, de ahí el nuevo post.

Answer 1

Considere el mapa $\varphi:S\to R$ dado por $$\varphi(x) = \frac{4x}{4-x},$$ y de forma similar para $y$ , $z$ y $w$ . Hay que comprobar que esto está bien definido; de hecho, $\varphi$ mapas $xyz+xyw+xzw+yzw+xyzw$ a $$\frac{4^4(xyz+xyw+xzw+yzw)}{(4-x)(4-y)(4-z)(4-w)}.$$ Desde $\varphi$ obviamente induce un isomorfismo en el gradiente asociado de la filtración por potencias del ideal máximo, es en sí mismo un isomorfismo.
Más explícitamente, el homomorfismo inverso $\psi:R\to S$ viene dada por $$\psi(x) = \frac{4x}{4+x},$$ y de forma similar para $y$ , $z$ y $w$ .

Nótese también que esto se generaliza a cualquier número de variables.

Gracias David y Vladimir por vuestras respuestas; ¡ha sido muy útil para ponerme en marcha!

Answer 2

Esto es muy similar al enfoque de Vladimir Dotsenko.

El enfoque natural (al menos, el que adoptamos tanto él como yo) es hacer una secuencia de cambios de variable, de la forma $$\begin{array}{rcl} w_{n} &=& w_{n+1}+a_{n+1}(w_{n+1},x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}) \\ x_{n} &=& x_{n+1}+b_{n+1}(w_{n+1},x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}) \\ y_{n} &=& y_{n+1}+c_{n+1}(w_{n+1},x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}) \\ z_{n} &=& z_{n+1}+d_{n+1}(w_{n+1},x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}) \\ \end{array}$$ donde $(a_n, b_n, c_n, d_n)$ tener un título $n$ para que el polinomio $w_1 x_1 y_1 + w_1 x_1 z_1 + w_1 y_1 z_1 + x_1 y_1 z_1 + w_1 x_1 y_1 z_1$ se convierte en $w_n x_n y_n + w_n x_n z_n + w_n y_n z_n + x_n y_n z_n + \Delta$ para $\Delta$ de un grado cada vez mayor.

Así, el cálculo de la clave es el siguiente:

Si tenemos $wxy+wxz+wyz+xyz+\Delta$ con $\Delta$ en grados $\geq n$ cuando podemos hacer un cambio de variables que elimine el grado $n$ parte de $\Delta$ ? La respuesta es la siguiente: si y sólo si $\Delta$ no tiene $w^n$ , $x^n$ , $y^n$ o $z^n$ plazo.

Prueba de ello: Sea $\Delta_n$ sea el grado $n$ parte de $\Delta$ . Podemos eliminarlo si y sólo si $\Delta_n$ es de la forma $$(wx+wy+xy) d + (wx+wz+xz) c + (wy+wz+yz) b+ (wx+wy+xy) a$$ para $a$ , $b$ , $c$ , $d$ de grado $n-2$ . En otras palabras, si y sólo si $\Delta_n$ está en el ideal $$I:= \langle wx+wy+xy, wx+wz+xz, wy+wz+yz, wx+wy+xy \rangle.$$ Es evidente que $I$ está contenida en $$J: = \langle wx, wy, wz, xy, xz, wz \rangle.$$ He comprobado mediante álgebra lineal explícita que el grado $3$ pieza de $I$ tiene dimensión $31$ , al igual que el grado $3$ pieza de $J$ . Así que $I$ y $J$ son iguales en grado $3$ y, por tanto, en todos los grados superiores. El grado $n$ parte de $J$ es precisamente los polinomios sin $w^n$ , $x^n$ , $y^n$ o $z^n$ plazo.

Por lo tanto, para ganar, debemos demostrar que podemos seguir eliminando los términos más bajos restantes sin crear $w^n$ , $x^n$ , $y^n$ o $z^n$ en grados superiores. No tengo claro si esto es posible o no.

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Otras reflexiones: el germen $wxy+wxz+wyz+xyz$ es singular a lo largo de $x=y=z=0$ y sus permutaciones, y lo mismo para $WXY+WXZ+WYZ+XYX+WXYZ$ . Me parece que esto debe implicar que el cambio de variables debe tomar $x=y=z=0$ a $X=Y=Z=0$ y lo mismo para las otras cuatro combinaciones de coordenadas. Esto debería significar que $W-w$ está en el ideal generado por $\langle w, xy, xz, yz \rangle$ . La imposición de estas restricciones a $a$ , $b$ , $c$ , $d$ da un nuevo ideal $I'$ , que sólo es $19$ dimensional en grado $4$ (mucho menos que $J$ .) Pero $wxyz$ está en $I'$ , por lo que todavía podemos hacer el primer cambio de variable.

Answer 3

Esto es demasiado largo para un comentario.

Permítanme denotar por $L_k=\sum_i x_i^{k+1}\frac{\partial\phantom{x_i}}{\partial x_i}$ los operadores a través de los cuales los campos vectoriales en una línea actúan sobre polinomios en varias variables (a través de la incrustación diagonal). Me he dado cuenta de que si se toman polinomios en $n$ variables, entonces la función simétrica elemental $e_n$ puede obtenerse como una combinación de $L_1(e_{n-1})$ y $(x_1+\cdots+x_n)L_0(e_{n-1})$ . De hecho, $L_1(e_{n-1})$ es la función simétrica monomial $m_{2,1^{n-1}}$ y $(x_1+\cdots+x_n)L_0(e_{n-1})=(x_1+\cdots+x_n)(n-1)e_{n-1}$ es $(n-1)(m_{2,1^{n-1}}+ne_n)$ . Por lo tanto, $e_n=\frac{1}{n(n-1)}((x_1+\cdots+x_n)L_0-(n-1)L_1)(e_{n-1})$ Así que $e_n$ puede obtenerse como la acción de un campo vectorial (difeomorfismos infinitesimales) sobre $e_{n-1}$ .

Esto significa que en la pregunta tal como está planteada se puede al menos utilizar la acción de los difeomorfismos para eliminar $x_1x_2x_3x_4$ a expensas de que surjan términos más altos (he realizado intencionadamente el cálculo para cualquier $n$ ya que quieres que sea generalizable).

Ahora, específicamente para $n=4$ para el siguiente paso, tenemos algunos términos de grado $5$ para matar. Por construcción, estos términos son polinomios simétricos por lo que todos viven en un espacio vectorial de dimensión $6$ (de polinomios simétricos en $4$ variables de grado $5$ ). Al mismo tiempo, si tomamos difeomorfismos infinitesimales "obvios", es decir, campos vectoriales que son combinaciones de $L_i$ con coeficientes que son polinomios simétricos, que aumentan el grado en $2$ entonces forman un $7$ -El espacio de dimensiones abarcado por $L_2$ , $e_1L_1$ , $e_2L_0$ , $e_1^2L_0$ , $e_3L_{-1}$ , $e_1e_2L_{-1}$ , $e_1^3L_{-1}$ . Creo que es de 7 dimensiones, pero no comprobé con mucho cuidado si éstas son linealmente independientes. Tampoco comprobé con cuidado qué pasa cuando aplicamos esto a $e_3$ pero mi sensación es que lo único que no se ve afectado por la acción de estos son los múltiplos escalares de $\sum_i x_i^5$ y estos no aparecerán en la acción infinitesimal matando $x_1x_2x_3x_4$ o bien.

Mi impresión es que esto entonces puede propagarse: en cada paso lo único que no es golpeado por difeomorfismos infinitesimales apropiados consiste en múltiplos escalares de $\sum_i x_i^k$ y estos nunca tienen que ser eliminados.

Siento no haber completado los detalles, pero tengo que terminar un montón de cosas hoy (¡esta preciosa pregunta ya me ha distraído más de lo debido!)