Yo antes tenía un handwavy argumento que aquí se muestra que el punto de fuga está siempre cerca (pero no igual) al centro de gravedad, pero ahora se han sustituido por un más riguroso argumento. Esto no totalmente responder a la pregunta (cuyo centro es el punto de fuga), pero al menos debería ayudar a eliminar muchos centros como definitivamente no, porque la mayoría de los centros no tienen la misma propiedad de estar siempre cerca de el centro de gravedad.
En primer lugar, para eliminar el centroide de sí mismo: de forma intuitiva, el punto de fuga no debe ser el centro de gravedad por la idea que se expone en la respuesta por parte de las foliaciones: el centro de gravedad tiene un local de la fórmula y el punto de fuga no debe tener dicha fórmula. (Esto también debe ser cierto de la Spieker centro, el centro de gravedad del perímetro del triángulo.) Pero un poco más directamente: en un obtusángulo triángulo isósceles, todos triángulo centros de mentira en la altura del triángulo, pero el centro de gravedad es siempre exactamente 1/3 de la forma a lo largo de la altura de la base (y la Spieker centro está casi en la base), mientras que el punto de fuga debe estar más cerca de la incentro, cerca del punto medio de la altura.
A continuación, vamos a mostrar que el punto de fuga está cerca del centro de gravedad. La anterior handwavy argumento utilizado un vago concepto de "relación de aspecto" (ver comentarios); para concretar más, vamos a usar la isoperimétrico relación $\rho=L^2/A$ que se sabe que disminuye monótonamente a través de la evolución de una curva convexa (Gage 1984).
Considere la posibilidad de una suave curva convexa $C$ con diámetro de $D$, y deje $w$ ser el ancho perpendicular al diámetro; a continuación, $D=\Theta(L)$ e $A=\Theta(wD)$, por lo que
$w=\Theta(D/\rho)$.
Deje $xy$ ser un acorde de $C$ perpendicular a $D$ a través del centroide. A continuación, $xy$ debe cruzar $D$ en algún lugar dentro de su tercio medio, y las tangentes a $C$ a $x$ e $y$ debe formar un ángulo de unos con otros (y con el diámetro del segmento) que es $O(1/\rho)$, otra cosa $xy$ sería más de $w$. Consideramos que todos los símbolos $D$, $w$, $x$, y $y$ a variar continuamente a medida que la curva de evolución, y el uso de $w_0$ (etc.) para referirse a sus valores iniciales. Tenga en cuenta que, debido a $C$ permanece confinado en una caja rectangular con ancho de $w_0$, va a ser siempre el caso de que $w=O(w_0)$.
En cualquier punto en la evolución de la curva, el mismo cálculo muestra que el ángulo entre las dos tangentes es pequeño, $O(w/D)$. De ello se desprende que las tasas de la zona de pérdida en los dos lados de $xy$ difieren unos de otros en más de un factor de $1+O(w/D)$, y sabemos que la tasa total de la zona de pérdida es constante, por lo que la velocidad a la que la diferencia de área entre los dos lados de los cambios es $O(w/D)$. De ello se deduce que la velocidad a la que el segmento de $xy$ puede mover es $O(1/D)$, debido a un movimiento más rápido crearía demasiada diferencia del área de un lado para el otro.
Ahora considere la posibilidad de cualquier período de tiempo dentro del cual el diámetro disminuye de $D_t$ a $D_t/2$. Rodea la curva de par de ancho-$w$ parca curvas (uno en cada dirección), y el uso de la evitación principio para la curva de acortamiento (si la curva está rodeado por la otra curva, las dos curvas no se cruzan) muestra que esto sucede en el tiempo $O(w_tD_t)$. Dentro de este período de tiempo, el centro de gravedad sólo puede moverse una distancia de $O(w_t)$: la velocidad de la $xy$ controla su movimiento paralelo al diámetro y la longitud de $xy$ controla su movimiento perpendicular. Después de repetir este argumento $\Theta(\log\rho)$ veces habremos $D\le w_0$, después de que el punto de fuga está delimitada dentro de la $O(w_0)$ restante diámetro de la curva. Por lo tanto, el punto de fuga de cualquier curva suave que es dentro de la distancia $O(D\frac{\log\rho}{\rho})$ del centroide.
Los triángulos no son lisas, sino que inmediatamente se convierten en suave tan pronto como se inicie la evolución de ellos, por lo que el mismo argumento se aplica. No estoy seguro de si el logarítmica del factor en el enlazado anteriormente es necesario, o si el punto de fuga está siempre dentro de la más cerca de la distancia de $O(D/\rho)$ del centroide.
