¿Ramanujan suma evaluar la serie de $\sum \frac{1}{n^s}$ a $\zeta(s)$ o $\zeta(s)-\frac{1}{s-1}$?

Question

En la Wikipedia, en el artículo sobre Ramanujan suma , así como algunos artículos relacionados, ejemplos de Ramanujan la sumatoria de la forma $ \sum\frac{1}{n^s}$ are done for various values of $s$ which seem to imply that Ramanujan summation yields $\zeta(s)$.

Sin embargo, otras fuentes como esto ya pedagógico de papel en Ramanujan suma, Ramanujan sumación de series divergentes (PDF) por B Candelpergher, se dice, por ejemplo, en la página xii en la introducción, o la ecuación 1.22 en la página 19, y de nuevo en la página 59, que

$$ \sum^{\mathfrak{R}} \frac{1}{n^{z}}=\zeta(z) - \frac{1}{z-1}. $$

Este corto sumario de Ramanujan suma también contiene la misma fórmula en la final.

Así que es?

¿

$$ \sum^{\mathfrak{R}} \frac{1}{n^{s}}=\zeta(s) - \frac{1}{m-1}. $$

o es sólo

$$ \sum^{\mathfrak{R}} \frac{1}{n^{s}}=\zeta(s) $$

en su lugar?

Hay dos diferentes convenciones de Ramanujan suma? Si es así, ¿alguien puede aclarar sus definiciones y diferencias?

Answer 1

este había sido un comentario, pero es que ahora se entiende como una respuesta de la introducción de la cita de E. Delabaere, Université d'Angers

Sólo he rozado la introducción de la Candelspergher-libro, y no tengo mucho tiempo para ir más profundo en él. Pero veo que él dice, que la notación $\qquad \displaystyle \sum_{n \ge 0}^\mathcal R \cdots \qquad$ significa que han capturado el polo de la zeta.
Como he entendido, esto significa que la singularidad de la $\zeta(1)$ es eliminado - y este resultado se llama "Ramanujan suma".

Así que lo que él llama la "Ramanujan suma" es en realidad $\zeta(s)-1/(s-1)$. Parece que es tal vez un desafortunado nombre inapropiado. Posiblemente fuese mejor (como con el "gamma incompleta-función") para escribir
"El Ramanujan suma de los zeta es la incompleta zeta" o similares,
y por lo tanto esto debería ser llamado "Ramanujan incompleta suma" para indicar que una de completar el plazo es de manera sistemática falta de la suma de la serie en discusión. La inclusión de la finalización de plazo se llamará con el nombre común de "Ramanujan-suma"

Entonces no habría nada irritante cuando la escritura

El "Ramanujan incompleta suma" de la serie $1+2+3+4+...$ es $$\sum_{n \ge 1}^{\mathcal R} n = \zeta(-1)-\frac1{-1-1} = -\frac1{12} + \frac12 = \frac5{12}$$ y debe ser completado por $ - \frac12 $ , para llegar a la conocida valor de $ - \frac1{12} $ para los zeta-interpretación de esta serie.

Sólo mis 2 centavos...

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actualización

para la integridad de mis argumentos acabo de incluir un fragmento de la E. Delabaeres artículo sobre "Ramanujan suma" por el resumen de Vicente Puyhaubert, página 86.

• Leyenda: Aquí $a(x)$ son los términos de la serie, a escribir como cuando la serie completa $a_1+a_2+a_3+...$ se expresa en la transformación de la forma $a(1)+a(2)+ a(3)+\cdots $ y el powerseries-representación de $a(x)$ se combina con la Bernoully-números (de acuerdo a la de Euler-Maclaurin-la fórmula para este problema)
• El fondo de color de los elementos y rojo elipses son agregados por mí, por señalar a los términos importantes de la fórmula