Hay tres conjeturas sobre el grupo de los anillos que llevan el nombre de Kaplansky (véase, por ejemplo, esta pregunta). La unidad 'conjetura' en el título de la presente pregunta es el más fuerte de ellos, y afirma que el anillo de grupo $\mathbb{C}\Gamma$ de las torsiones grupo $\Gamma$ no debe contener unidades además de las obvias $\lambda g$ para $\lambda\in\mathbb{C}^\times,\, g\in\Gamma$.
Natural de la combinatoria de propiedad sobre un grupo de $\Gamma$ en virtud de que la conclusión de la unidad conjetura que se conoce es la única propiedad de los productos: uno dice que $\Gamma$ tiene productos únicos, si para cualquiera de los dos finito (no vacío) de subconjuntos de $A,B$ en $\Gamma$ existe $a\in A,b\in B$ tal que $ab\not= a'b'$ para todos los $(a,b)\not= (a',b')\in A\times B$ (informalmente, $ab$ puede ser escrito en un solo camino como un producto). Esta propiedad ha sido bien estudiado, y se sabe que se mantenga para las diferentes clases de grupos; también se sabe que hay de torsión libre de grupos que no son productos únicos (ver por ejemplo este artículo de B. Bowditch para más referencias).
Mientras que los otros dos conjeturas puede ser abordado por una variedad de medios (véase la mencionada MO para más detalles), no soy consciente de ninguna de torsiones grupo $\Gamma$ para que la conclusión de la uf de la unidad conjetura es conocido para sostener, sin los exclusivos productos de la propiedad después de haber sido establecida la primera.
Por lo tanto (por fin) mi consulta: ¿hay un ejemplo conocido de un (decir finitely generado) torsiones grupo $\Gamma$ tal de que se sabe que todas las unidades en $\mathbb{C}\Gamma$ son los más obvios, pero para los que no se sabe que tiene productos únicos (o incluso mejor, que se sabe que no es único de los productos)?
