¿Existe una prima cada año si AAAAMMDD se trata como base? $10$ ¿número?

Question

Ahora que nos acercamos al final del año, he pensado en la aparición de los números primos en las fechas del calendario como un problema recreativo. Consideremos el número formado por la concatenación de los dígitos de una fecha de la forma AAAAMMDD. Por ejemplo 31-Dic-2019 se escribirá como $20191231$ .

Estaba investigando si el número AAAAMMDD es primo. Lo comprobé para los próximos cien mil años y encontré que cada año tiene entre un mínimo de $1$ para el año $5771237$ y un máximo de $37$ Primas del año $450060$ . Todavía no he podido encontrar un solo año que no haya tenido una prima.

Conjetura : Hay al menos una prima cada año.

Actualización : El año $27789755$ es el año más pequeño que no tiene primo.

¿Cuál es el contraejemplo más pequeño?

También $37$ primos ocurridos en el año $450060$ porque implica que el intervalo $(4500600001, 4500601231)$ contiene al menos $37$ primos. Al comprobarlo, resulta que este intervalo contiene $77$ primos, que es bastante denso para un intervalo corto entre dos números grandes.

Answer 1

Su conjetura es falsa.

Sea $S=\left\{s_1,s_2,\ldots,s_{366}\right\}$ el conjunto de todos los números de la forma MMDD, incluyendo $229$ . Podemos replantear tu problema de la siguiente forma ligeramente más débil (es más débil porque no todos los años son bisiestos):

Por cada $k$ al menos uno de los números $$10000k+s$$ para $s\in S$ es un número primo.

Sin embargo, esto puede demostrarse fácilmente que es falso. Si tomamos $p_1,p_2,\ldots,p_{366}$ ser $366$ números primos distintos, diferentes de $2$ y $5$ por el Teorema chino del resto existe un $Y$ tal que $$Y\equiv-s_1\cdot10000^{-1}\pmod{p_1}$$ $$Y\equiv-s_2\cdot10000^{-1}\pmod{p_2}$$ $$\vdots$$ $$Y\equiv-s_{366}\cdot10000^{-1}\pmod{p_{366}}$$ Para este año $Y$ cada número $10000Y+s_i$ que podemos generar será divisible por la correspondiente $p_i$ (siendo al mismo tiempo mucho mayor que ella), lo que significa que este año no habrá primarias.

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He aquí una prueba alternativa, mucho más técnica, pero mucho más rápida. Si cada año tuviera un primo, entonces $\pi(n)\in O(n)$ que es falsa por la Teorema de los números primos .

Answer 2

Es falso, ya que se pueden construir secuencias de números compuestos de longitud arbitraria $n$ por ejemplo, $$(n+1)! + 2, \ldots, (n + 1)! + (n + 1) :$$ Elija una secuencia de longitud mínima $19999$ de modo que contenga una sucesión de números consecutivos acabados en $0000, \ldots, 9999$ . Entonces, el primer número de esa subsecuencia es $10\,000 \cdot y$ para algún número entero $y$ y todos los números dados por cadenas de fechas del año $y$ son compuestos.