¿Qué información está contenida en el Kazhdan-Lusztig polinomios?

Question

El Kazhdan-Lusztig polinomios contener todo tipo de representación teórica (y de otros tipos) de información.

Por ejemplo, el carácter de un simple módulo a través de una Mentira álgebra con el grupo de Weyl $W$ puede ser leído a partir de la KL-polinomios de la siguiente manera: $$ch(L_w)=\sum_y (-1)^{l(w)-l(y)}P_{y,w}(1) ch(M_y)$$ aquí $L_w$ resp. $M_w$ denotar el simple resp. Verma módulo de mayor peso,$-w(\rho) -\rho$.

¿Cuáles son otros ejemplos de la importante información codificada en KL-Polinomios?

Answer 1

El Kazhdan-Lusztig polinomios codificado una buena cantidad de topológica de la información relativa a Schubert variedades. Por ejemplo, en

Kazhdan, David; Lusztig, George. Schubert variedades y la dualidad de Poincaré. La geometría del operador de Laplace (Proc. Sympos. Matemáticas Puras., Univ. Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp 185-203, Proc. Sympos. Matemáticas Puras., XXXVI, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, R. I., 1980.

está demostrado que el si $W$ es un grupo de Weyl, los coeficientes de la Kazhdan-Lusztig polinomio $P_{u,v}(q)$ igual a la dimensión de los locales de la intersección de la homología de los espacios de la variedad de Schubert $X_v$ a un punto en el Schubert de células indexados por $u$.

Si lo desea puede ver los capítulos 5 y 6 de la siguiente libro para más aplicaciones y referencias:

Björner, Anders; Brenti, Francesco. La combinatoria de grupos de Coxeter. Graduado de Textos en Matemáticas, 231. Springer, Nueva York, 2005. xiv+363 pp. ISBN: 978-3540-442387; 3-540-44238-3

Answer 2

Merece la pena tener en cuenta que la de 1979 papel por Kazhdan y Lusztig reparte de manera bastante general con Iwahori-Hecke álgebras arbitraria de los grupos de Coxeter, no sólo lo finito grupos de Weyl (o incluso la Weyl grupos unidos para Kac-Moody álgebras). Para el finito y afín a grupos de Weyl las conexiones con Schubert variedades son una de las principales motivaciones para el Kazhdan-Lusztig polinomios, ya que los polinomios codificar importantes datos geométricos como Leandro señala.

Para los tipos de teoría de la representación que involucran a grupos de Coxeter en el papel de "grupos de Weyl", no tienden a ser buenos análogos de la conjetura original para finito dimensionales semisimple álgebras de Lie y su mayor peso en las representaciones de dimensión arbitraria. Esta es sin duda una de las principales aplicaciones de las ideas, ya que conduce a la nueva alternando suma fórmulas de caracteres desconocidos, con los valores de los polinomios en la 1 como la de los coeficientes.

Por otro lado, es fundamental para generar en este tipo de carácter de la fórmula a la par de los elementos de la Coxeter grupo más de los que suma ocurre: estos están relacionados por la Chevalley-Bruhat pedido, también muy noción general para grupos de Coxeter. De hecho, los polinomios en forma aislada no son especialmente dignos de mención. Como Patrick Polo mostraron en el tipo a, cualquier valor no negativo polinomio con coeficientes enteros y término constante 1 se muestra en algún lugar como una Kazhdan-Lusztig polinomio. (La no negatividad de los coeficientes es todavía una interesante abrir una conjetura a partir de la original K-L papel, sin aparente interpretación general de los polinomios como una guía.)

También debo mencionar que los coeficientes de los polinomios asociados a un determinado grupo de Weyl determinar las multiplicidades de módulos sencillos en las capas de la Jantzen de filtración para un Verma módulo, como se indica por Chuck en un marco más amplio. Sin embargo, la prueba por Beilinson-Bernstein de Jantzen mayores conjeturas sobre las filtraciones de la muestra que su conjetura es incluso más fuerte que el Kazhdan-Lusztig conjetura. (En el capítulo 8 de mi postgrado texto encuestas mucho de esto en detalle, pero sin ser un tratamiento completo.)

Answer 3

Ciertos Kazhdan-Lusztig polinomios calcular el llamado Brylinski-Kostant de filtración en el peso espacios de representaciones irreducibles. También calcular multiplicidades de irreductible módulos que ocurren en el global de las secciones de la línea de bultos en la cotangente paquetes de la bandera de variedades. Estas dos ideas están relacionadas.

En más detalle: Vamos a $G$ ser un semisimple algebraicas grupo de más de $\mathbb C$. Fijar un Borel subgrupo $B \subseteq G$ con unipotentes radicales $U$ y elegir un director nilpotent elemento $X \in \textrm{Lie}(U)$ (un director nilpotent elemento es uno cuyas $G$-órbita es denso en la subvariedad de todos los nilpotent elementos). Deje $\lambda, \mu$ ser dominante pesos y considerar la $\mu$peso de espacio $V_\mu(\lambda)$ de la representación irreducible $V(\lambda)$ de % de$G$. Entonces hay una filtración -- el Brylinski-Kostant de filtración -- en $V_\mu(\lambda)$ proveniente de la acción de la $X$ a $V(\lambda)$: definir $ \mathcal F^n( V_\mu(\lambda) ) $ a ser el subespacio de $ V_\mu(\lambda) $ consta de los vectores asesinado por n+1 aplicaciones de $X$. Desde $X$ es nilpotent, este hecho da una filtración en $V_\mu(\lambda)$.

Ahora, un importante teorema debido a R. Brylinski (1) es que ciertos Kazhdan-Lusztig polinomios dar las dimensiones de los subespacios en esta filtración. Esta es una muy interesante teorema: para probarlo, Brylinski en realidad es un intermedio geométricas teorema sobre Kazhdan-Lusztig polinomios a twisted funciones en G/T (que están conectados a los títulos de las secciones de la línea de bultos en la cotangente del paquete de G/B), por lo que a lo largo de la manera en que ella le da otra interpretación de Kazhdan-Lusztig polinomios. En particular, calcular multiplicidades de irreductible módulos que ocurren en el global de las secciones de la línea de bultos en la cotangente del paquete de G/B. también dan información sobre los títulos de las secciones de estos paquetes (comentaré Brylinski del papel de la definición adecuada de "grado").

Aquí voy humildemente mi propio trabajo: en (2) he ampliado algunos de Brylinski resultados para el caso en que el nilpotent elemento no es necesariamente el principal. En este caso, ciertos Kazhdan-Lusztig polinomios también aparecen en un análogo de la filtración. Además, el pleno de la cotangente del paquete de G/B se sustituye por una adecuada subbundle E de la cotangente del paquete, y se tiene el siguiente resultado: ciertos Kazhdan-Lusztig calcular los polinomios de multiplicidades de irreducibles que ocurren en el global de las secciones de la línea de paquetes en E. (por Desgracia, la completa declaración general de que a uno le gustaría hacer que todavía es una conjetura, debido a las difíciles cuestiones técnicas que implican cohomology de fuga de estos paquetes).

Comentario: Tanto Brylinskis han hecho contribuciones fundamentales a la teoría de Kazhdan-Lusztig polinomios. Jean-Luc Brylinski y M. Kashiwara, y de forma independiente Beilinson y Bernstein, demostró la Kazhdan-Lusztig conjeturas (esta es la interpretación mencionada por Jan en su pregunta); Ranee Brylinski, Jean-Luc, la esposa, le dio la interpretación que he descrito anteriormente.

Referencias:

(1) Brylinski, R. K. Límites de peso espacios, Lusztig s $q$-análogos, y fiberings de adjoint órbitas. J. Amer. De matemáticas. Soc., 1989, Vol. 3, pp 517--533.

(2) Disponible en ArXiV aquí.

Answer 4

No estoy seguro de si esto sería considerado una respuesta, pero hay un "concreto" la interpretación de los coeficientes dados en http://arxiv.org/abs/1212.0791 .