Hay una fácil descripción de la estructura de esta infinita grupo?

Question

Deje $S_\infty$ denotar la plena grupo simétrico de countably muchos puntos y el índice de los puntos por $\mathbb{N}$. Para cualquier peso (por falta de un nombre mejor) la función $w:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb R^+$, definir un subgrupo $S_\infty(w)\subset S_\infty$ como sigue:

$$S_\infty(w) := \{\pi\in S_\infty|\sum_{\pi(k)\neq k} w(k)<\infty \}$$

La idea intuitiva es que, dada una función peso $w$ una permutación $\pi\in S_\infty$ es de $S_\infty(w)$ si la suma de los pesos de todos los puntos movido por $\pi$ es finito.

Hay dos ejemplos bien conocidos de tales subgrupos:

• $S_\infty(1)$ es el grupo de finitely apoyado permutaciones de $\mathbb{N}$ o, equivalentemente, la directa límite de lo finito grupos simétricos.

• $S_\infty(\frac{1}{n^2})$ es simplemente $S_\infty$ desde que la serie se $\{\frac{1}{n^2}\}$ es convergente.

Así, en este contexto, he estado pensando en el grupo $G := S_\infty(\frac{1}{n})$. Es evidente $S_\infty(1)\not\cong G$ desde $G$ contiene muchos subgrupos isomorfo a $S_\infty$ (por ejemplo, el conjunto de todas las permutaciones de los puntos indexados por $b^i$ para $b$ fijo y $i\in\mathbb{N}$).

Por otro lado, $G$ contiene una adecuada subgrupo isomorfo a la suma directa de countably muchas copias de $S_\infty$, por lo que, en particular, es fácil ver $S_\infty\not\cong G$ ya que en $G$ elementos de infinito el fin de tener siempre trivial centralizadores, mientras que en $S_\infty$ esto no es siempre el caso.

Pregunta: Aparte de la descripción de $G$ as $S_\infty(\frac{1}{n})$, hay alguna fácil describir/entender la presentación de este grupo?

Principalmente estoy roto en si $G$ sí es isomorfo a una suma directa de countably muchas copias de $S_\infty$; cada vez que intento describir un isomorfismo, hay elementos de la $G$ no cuenta.

Answer 1

No es una respuesta, sólo una serie de observaciones que se espera que sea de alguna utilidad, y demasiado largo para un comentario. La última observación podría ser relevante a su pregunta acerca de si $G$ es la suma directa de countably muchas copias de $S_\infty$, a menos que he sobre-simplificada de algo.

1. Por cada peso $w$, podemos asociar la colección $$I_w = \left\{A \subseteq \omega\ |\ \sum_{n \in A}w(n) < \infty\right\}$$
   A continuación, $I_w = P(\omega)$ fib $\sum_{n \in \omega} w(n) < \infty$. Si la serie es divergente, entonces $I_w$ es un no-principal ideal de extender el ideal de $\mathrm{Fin}$ finito de conjuntos, además de que este ideal no es maximal, es decir, su doble filtro no es un ultrafilter.
2. $S_{\infty}(w) = \bigcup _{A \in I_w}S_A$ donde $S_A$ es el subgrupo de $S_{\infty}$ que corrige $\omega \setminus A$ pointwise, es decir, es el conjunto de permutaciones de $A$.
3. El mapa de $(I_w,\subseteq) \to ($subgrupos de $S_\infty,\leq)$ definido por $A \mapsto S_A$ es un inyectiva homomorphism de posets. Estamos fundamentalmente interesados en la unión de la gama de este mapa, pero por desgracia esto no es igual a la imagen de la unión del dominio de este mapa.
4. También tenga en cuenta que $(I_w,\subseteq)$ es una celosía y dirigido conjunto, como es el rango de el mapa de arriba.
5. Si $\lim_{n\to\infty}w(n) = 0$ pero $\sum_{n\in\omega}w(n) = \infty$, entonces no hay ninguna partición de $\omega$ en countably muchos conjuntos infinitos $A_n (n \in \omega)$ tal que $S_\infty(w)$ es isomorfo a la suma directa de las $S_{A_n}$ en el "obvio" que la forma. Es decir, $S_\infty(w)$ no consisten simplemente en esas permutaciones que pueden ser expresados como un producto finito de elementos a partir de un número finito de la $S_{A_n}$. [Prueba: Para cada una de las $n$, recoger algunas $m_n \in A_n$ tal que $w(m_n) < 2^{-n}$. Set $A = \{m_n : n \in \omega\}$. A continuación,$S_A \leq S_{\infty}(w)$, pero hay elementos de la $S_A$ que no puede ser escrito como un producto finito de elementos de la $S_{A_n}$.]