Formalismo hamiltoniano, lagrangiano y de Newton de la mecánica

Question

Si mi razonamiento es erróneo, le ruego me lo comunique. Tengo poco conocimiento de la física más allá de la universidad.

Por motivos de investigación, leí algunas introducciones a estos tres formalismos de la mecánica clásica [1,2,parte de 5](Hamiltoniano, Lagrangiano y formalismo de Newton). Me parece que los formalismos de Newton son incapaces de describir un sistema cuántico (el principio de incertidumbre no se aborda bien), mientras que tanto el Hamiltoniano como el Lagrangiano son capaces de describir un sistema cuántico, por lo que el Hamiltoniano y el Lagrangiano son simplemente un marco más general que incluye a Newton.

Como Ben y Tobias señalaron en sus respuestas, estos tres formalismos equivalentes su relación no son simplemente de inclusión, sino complementarios. Hay situaciones uno de los tres sistemas que son particularmente adecuados para utilizar.

Para mis propósitos, veo que a menudo parece haber una correspondencia uno a uno entre la construcción Lagrangiana y la construcción Hamiltoniana para sistemas dinámicos (O en el caso más simple las ecuaciones diferenciales derivadas con respecto a un marco de coordenadas elegido) y la geometría (simplética) cuando la preocupación es la dinámica en la variedad, digamos [3,4].

Una pregunta curiosa que se me ocurre es que si estos dos formalismos físicos son equivalentes, ¿por qué sólo se estudia el hamiltoniano en la mayoría de los casos (por ejemplo, el análisis geométrico y la geometría simplética)?

(1)¿Cuál es su superioridad (el formalismo hamiltoniano) sobre el lagrangiano desde el punto de vista matemático? ¿Conduce a una estructura más rica o a una estructura más natural? (con estructura me refiero a la estructura del múltiple sobre el que se define el sistema)

(2)Además, ¿hay algún ejemplo de que pero demasiado complicado o poco natural para formalizarlo en el formalismo de lagrangiano?

Agradecemos cualquier comentario o referencia. Por favor, añada alguna referencia en su respuesta para apoyar sus afirmaciones, ¡muchas gracias!

Referencia

[1] http://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mecanica.pdf

[2] http://image.diku.dk/ganz/Lectures/Lagrange.pdf

[3] Condiciones límite y relación entre las teorías de Floer hamiltoniana y lagrangiana

[4]Koon, Wang Sang, y Jerrold E. Marsden. "The Hamiltonian and Lagrangian approaches to the dynamics of nonholonomic systems". Informes sobre Física Matemática 40.1 (1997): 21-62.

[5]Meyer, Kenneth, Glen Hall y Dan Offin. Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem. Vol. 90. Springer Science & Business Media, 2008.

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Motivación de la OP

Y en cuanto a mi motivación, principalmente quiero averiguar por qué [Mumford&Michor] propusieron el enfoque hamiltoniano en (que no me parece muy natural al principio, ya que sólo están estableciendo un marco para la dinámica en $Cur(\mathbb{R}^2)$ .)

[Mumford&Michor]Michor, Peter W., y David Mumford. "An overview of the Riemannian metrics on spaces of curves using the Hamiltonian approach". Applied and Computational Harmonic Analysis 23.1 (2007): 74-113.

A partir de estas bonitas respuestas, creo que la razón más convincente por la que se prefiere el enfoque hamiltoniano en [Mumford&Michor] es que (1)el espacio de curvas $Cur$ implica $\mathrm{Diff}(C)$ y el formalismo hamiltoniano es un formalismo conveniente para incorporar estas transformaciones. (2)Y los generadores infinitesimales de $\mathrm{Diff}(C)$ puede utilizarse para describir el campo de velocidad a lo largo de las curvas en $Cur$ . (3)Combinado con la respuesta de Tobias, [Mumford&Michor] también dijeron que la simetría es una razón para el Hamiltoniano. Ahora entiendo mejor la frase.

...El enfoque Hamiltoniano también proporciona un mecanismo para convertir simetrías de la variedad riemanniana subyacente en cantidades conservadas, los momentos [Mumford&Michor].

(A menos que los autores no estén de acuerdo :)

Gracias de nuevo por las aportaciones de todos, ¡he aprendido mucho de vosotros y estoy deseando aprender más!

Answer 1

Cada uno de los distintos formalismos de la mecánica clásica tiene sus ventajas e inconvenientes. Sin embargo, al final los tres marcos tienden a ser equivalentes, por lo que la siguiente lista es muy subjetiva y puede haber excepciones en todos los puntos.

Newton:

• Incluye fácilmente sistemas disipativos y es el único formalismo que puede manejar fuerzas no potenciales.
• Tomado literalmente sólo se aplica a sistemas sin restricciones (pero puede ampliarse para incluir algunas restricciones utilizando Principio de d'Alembert ; no obstante, no suele ser el marco adecuado para gestionar las restricciones).
• No dice mucho sobre cantidades conservadas para simetrías.

Lagrangiano :

• Destaca los principios variacionales subyacentes a la mecánica clásica por su conexión directa con el principio de mínima acción
• como tal, permite extensiones directas a sistemas relativistas y teorías de campo.
• El teorema de Noether proporciona un vínculo directo entre las simetrías y las cantidades conservadas.

Hamiltoniano :

• Existen sistemas descritos por variedades simplécticas que no son haces cotangentes y, por tanto, no tienen equivalente lagrangiano (por ejemplo, grados de libertad internos como el espín)
• El marco de los "mapas de momento" suele ser superior al teorema de Noether y la reducción de simetría se entiende mejor en el caso simpléctico.
• Rompe la naturaleza covariante del formalismo lagrangiano y, por tanto, tiene problemas con las teorías relativistas.
• El hamiltoniano siempre se conserva a lo largo de la evolución dinámica. Esto tiene ventajas, por ejemplo, en la teoría de la bifurcación, pero hace (casi) imposible hablar de sistemas disipativos.
• La naturaleza variacional está oculta (o en una nota más positiva encapsulada en la forma simpléctica).
• Las variedades simplécticas son interesantes por sí mismas, incluso sin un Hamiltoniano (esta es la ventaja de tener la estructura adicional dada por la forma simpléctica).

Obsérvese que la equivalencia de la visión lagrangiana y hamiltoniana depende de la transformación de Legendre. A veces, especialmente cuando hay restricciones, la transformación de Legendre es no un isomorfismo y, por tanto, ¡ambos formalismos podrían no ser equivalentes!

Answer 2

Los tres formalismos de la mecánica clásica, es decir, el newtoniano, el lagrangiano (mecánica analítica) y el hamiltoniano (formalismo canónico) no suelen ser equivalentes entre sí, al menos no en un sentido estricto de la palabra "equivalente" que pudiera considerarse válido para la totalidad de los sistemas físicos. Pero de hecho lo son, para muchos sistemas de interés. Para ser más concreto, intentaré esbozar sus interconexiones lógicas:

$\blacktriangleright$ Si partimos de la mecánica newtoniana y de los supuestos:

1. hay restricciones holonómicas es decir, restricciones de la forma $f(x,y,z,t)=0$ que son independientes de la velocidad.
2. arbitraria desplazamientos virtuales se suponen en direcciones ortogonales a las fuerzas de coacción, es decir, las fuerzas de coacción no realizan ningún trabajo (esto equivale a decir que las fuerzas de coacción son normales a la hipersuperficie determinada por las coacciones en un instante dado $t=t_0$ ).

                            
          Si las restricciones son escleronómico entonces los desplazamientos reales $d\mathbf{s}$ son desplazamientos virtuales $\delta\mathbf{s}$ .
          ( $\Sigma$ es la hipersuperficie determinada por las restricciones $f(x,y,z)=0$ , $\ R \ $ la fuerza de coacción, $F$
          es la fuerza resultante no coactiva y $\mathbf{s}$ el vector de posición).
entonces Newton $2^{nd}$ equivale a la Principio de D'Alembert que a su vez implica las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, es decir, el formalismo de la mecánica analítica.
(Obsérvese que los sistemas que cumplen el segundo de los supuestos anteriores a veces se denominan "mecánico" o "pura mecánica" en la literatura.
Por otra parte, no hay que ir muy lejos para encontrar sistemas que violan uno o ambos supuestos anteriores: rodar sin resbalar es un sistema común con restricciones no holonómicas y, en general, los sistemas con fuerzas de resistencia -varias fuerzas de fricción, por ejemplo- violan el segundo de los supuestos anteriores).

La implicación inversa, es decir, partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange y deducir el principio de D'Alembert y, por lo tanto, el de Newton $2^{nd}$ es relativamente sencillo.

$\blacktriangleright$ Si partimos de una lagrangiana y sus ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, bajo los supuestos:

1. sólo hay restricciones holonómicas

2. la función lagrangiana es "estándar" o "regular" en el sentido de que $\det\Big|\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}_{i}\partial\dot{q}_{j}}\Big|\neq 0$ es decir, el hessiano de la lagrangiana con respecto a las velocidades generalizadas no es degenerado (véase: ¿Cuándo un sistema dinámico lagrangiano tiene una descripción hamiltoniana equivalente? para más detalles sobre este punto)

entonces podemos derivar el Hamiltoniano y el formalismo canónico de las ecuaciones de Hamilton a través de un Transformación de Legendre . Nótese que la transformación de Legendre, transforma funciones sobre un espacio vectorial en funciones sobre el espacio dual. En este caso, transforma la función lagrangiana (en el haz tangente del colector del espacio de configuración) en la función hamiltoniana (en el haz cotangente del colector del espacio de configuración).

Resumiendo el debate anterior: $$ \small{ \left\{ \begin{array}{c} \text{Newtonian} \\ \text{mechanics} \end{array} \right\} \underset{\begin{array}{c} \text{pure} \\ \text{mechanical} \\ \text{system} \end{array}}{\overset{\begin{array}{c} \text{holonomic} \\ \text{constraints} \end{array}}{\mathbf{\leftrightsquigarrow}}} \left\{ \begin{array}{c} \text{d'Alembert's} \\ \text{principle} \end{array} \right\} \leftrightsquigarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{Lagrangian} \\ \text{mechanics} \end{array} \right\} \underset{\det\Big|\frac{\partial^{2}L}{\partial\dot{q}_{i}\partial\dot{q}_{j}}\Big|\neq 0}{\overset{\begin{array}{c} \text{holonomic} \\ \text{constraints} \end{array}}{\mathbf{\leftrightsquigarrow}}} \left\{ \begin{array}{c} \text{Hamiltonian} \\ \text{mechanics} \end{array} \right\} } $$ Observaciones:
(a). en el marco de la mecánica newtoniana, las fuerzas pueden depender de las posiciones y velocidades, pero no de las aceleraciones y
(b). A lo largo de la discusión precedente, consideramos que todas las fuerzas sin restricciones se pueden derivar de potenciales escalares generalizados que dependen de las coordenadas y, como máximo, linealmente de las velocidades: $V=U(q_i,t)+A_j(q_i,t)\dot{q}_j$ . Estos sistemas son más generales que los sistemas conservadores y pertenecen a la clase de los monogénico sistemas.

Ahora, con respecto a su primera pregunta : No creo que sea adecuado hablar de "superioridad" o "estructura más rica". Desde el punto de vista técnico, las ecuaciones de Euler-Lagrange son un sistema de $n$ La formulación hamiltoniana se compone de un sistema de $2n$ EDO, de primer orden, que implica la función hamiltoniana que "vive" en el haz cotangente (de la variedad del espacio de configuración).
Si consideramos el paso a la mecánica cuántica, entonces ambos formalismos son adecuados para tratar los aspectos elementales del problema de la cuantización (en ambos niveles, primera y segunda cuantización también): Las ecuaciones de Hamilton tienen casi la misma forma típica en mecánica cuántica que sus homólogas clásicas, aunque su interpretación es bastante diferente en el caso cuántico -pero esta es una historia aparentemente distinta. El camino hacia la cuantificación a través del formalismo hamiltoniano suele denominarse cuantificación canónica mientras que el camino a través del formalismo lagrangiano se conoce como cuantificación integral de la trayectoria .

En cuanto a su segunda pregunta y ya que pides referencias, este El artículo parece discutir ejemplos de sistemas hamiltonianos clásicos que no poseen una formulación lagrangiana. Por otra parte, la formulación hamiltoniana y lagrangiana de la óptica geométrica -como ya se ha mencionado en otra respuesta- es un sistema clásico bien conocido que no posee ninguna descripción significativa a nivel de las leyes de Newton.
Desde un punto de vista, se puede decir que el formalismo hamiltoniano es "más amplio" en el sentido de que incluye varios sistemas de EDO que no están directa u obviamente relacionados con la mecánica clásica (un ejemplo es la descripción lagrangiana/hamiltoniana de las leyes de Maxwell del campo electromagnético) o con la física en absoluto. En la práctica, el hamiltoniano suele considerarse una función abstracta, mientras que el lagrangiano está más íntimamente relacionado con los conceptos de energía cinética y potencial de un sistema. Creo que también te puede interesar el artículo La mecánica clásica es lagrangiana, no hamiltoniana por Erik Curiel.
Sin embargo, desde otro punto de vista, la formulación newtoniana es "más amplia", en el sentido de que si hay que considerar fricciones, fuerzas disipativas, restricciones no holonómicas, etc., entonces -aunque existen varias generalizaciones formales de las ecuaciones de Lagrange y Hamilton para tratar tales sistemas- normalmente se recurre a las leyes fundamentales de Newton.
Así que, concluyendo, estoy de acuerdo en que no hay relaciones simples de subconjunto adecuado entre estas tres formulaciones de la mecánica clásica.

Algunas referencias adicionales:

1. Métodos matemáticos de la Mecánica clásica de V.I. Arnold, y
2. Tratado de dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos por E.T. Whittaker,

son fuentes -imo- inestimables, profundizan en los fundamentos, no tratan de esconder los escollos bajo la alfombra, con un ojo puesto en los detalles (ya sea en los cálculos o en los argumentos).

3. Esto: https://physics.stackexchange.com/q/89035/130499 pregunta en physics.stackexchange tiene una superposición natural con el OP y tiene un montón de respuestas. Quizá le interese echar un vistazo allí también.

P.D: Una última cosa: la disertación anterior y el diagrama proporcionado, tenían por objeto destacar las interconexiones lógicas de estos tres formalismos y los supuestos habituales sobre los que uno se deriva o implica al otro u otros. Sin embargo, hay que señalar que tanto las ecuaciones de Euler-Lagrange como las de Hamilton se pueden deducir -cada una por separado e independientemente de las leyes de Newton- de forma "axiomática" (¿o debería decir "ad hoc"?) mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange y de Hamilton. principios variacionales : estos son los Principio de Hamilton (de la que se derivan las eqs de euler-lagrange) y la principio de Hamilton modificado (de la que se pueden derivar las ecuaciones canónicas de la mecánica hamiltoniana). Ambas determinan las correspondientes ecuaciones de movimiento y, por tanto, la evolución del sistema, mediante la exigencia de que las trayectorias sean tales que la correspondiente acción-funcional $S$ obtiene un valor estacionario (su $\delta$ -se hace cero): $$\delta S=0$$ En el primer caso $S=\int_{t_1}^{t_2} Ldt$ y el principio se aplica en el espacio de configuración, mientras que en el caso posterior $S=\int_{t_1}^{t_2} (\dot{q}p-H)dt$ y se aplica el principio correspondiente en el espacio de fases.

En realidad, es esta posibilidad de fundamentación independiente de estos formalismos la que inspiró/permitió la extensión de los mismos a sistemas no mecánicos, como los campos clásicos.

Answer 3

Me parece que los formalismos de Newton son incapaces de describir un sistema cuántico(El principio de incertidumbre no está bien tratado) mientras que tanto el Hamiltoniano como el Lagrangiano son capaces de describir un sistema cuántico. Así que el Hamiltoniano y el Lagrangiano son simplemente un marco más general que incluye a Newton.

Esta parte no es correcta. Las formulaciones de Newton, Hamilton y Lagrang son todas clásicas y esencialmente equivalentes. Ninguna de ellas es una generalización de las demás. Dada una descripción de cualquier sistema clásico en uno de estos sistemas, normalmente se puede encontrar su descripción en los otros sistemas. (Hay casos de sistemas que pueden describirse en uno de estos formalismos pero no en otro, por ejemplo, la óptica puede describirse en el formalismo hamiltoniano pero no utilizando las leyes de Newton. Pero no creo que se trate de simples relaciones de subconjunto propio).

La mecánica hamiltoniana y lagrangiana no son descripciones de un sistema mecánico cuántico. La descripción clásica de un sistema a menudo puede ser convertido en dicha descripción, utilizando diversas recetas heurísticas como cuantización canónica . A veces estos métodos de cuantización fallan (como en el caso de la gravedad cuántica), y otras veces son ambiguos o necesitan retoques creativos.

La razón por la que el formalismo Hamiltoniano es bueno cuando se cuantiza un sistema es que el Hamiltoniano es el generador infinitesimal de la evolución del tiempo. El enfoque hamiltoniano pone de manifiesto la naturaleza unitaria de la mecánica cuántica.

Una de las razones por las que el formalismo lagrangiano es bueno es que la lagrangiana se transforma relativísticamente como un escalar, de modo que al especificar una lagrangiana, tenemos la garantía de obtener ecuaciones de movimiento que son independientes de las coordenadas. Esto es diferente del enfoque Hamiltoniano, en el que el tiempo tiene un estatus especial, separándolo de las coordenadas espaciales.

Answer 4

En respuesta a (1), una ventaja clave de las ecuaciones de movimiento de Hamilton es que permanecen invariantes bajo una gran clase de transformaciones "canónicas", $(x,p)\mapsto (Q(x,p),P(x,p))$ para alguna función escalar $S(x,P)$ en el que se transforman tanto las coordenadas como los momentos. Para las ecuaciones de movimiento de Lagrange, sólo las transformaciones de coordenadas, $x\mapsto Q(x)$ están permitidos. Esta mayor libertad existe porque el espacio de fase tiene el doble de dimensiones que el espacio de configuración. Una forma de utilizar esta libertad adicional es encontrar leyes de conservación, $\dot{Q}=0$ buscando una transformación canónica con corchete de Poisson evanescente $\{Q,H\}=0$ .