No podía encontrar una lista de problemas abiertos en álgebras de Hopf. Así que mi pregunta es la siguiente:
En la teoría de álgebras de Hopf, ¿cuáles son las (grandes) problemas abiertos?
Cualquier tipo de problema/pregunta será bienvenida. Estoy interesado en cualquier tipo de problema relacionado con álgebras de Hopf, decir que va de combinatoria o topología álgebra abstracta.
Había sido un taller sobre álgebras de Hopf y áreas afines, en septiembre de 2015. Su informe (https://www.birs.ca/workshops//2015/15w5053/report15w5053.pdf) incluye una gran lista de problemas abiertos y conjeturas en Hopf algenbras, por ejemplo, "Es la antípoda de un noetherian álgebra de Hopf bijective ?".
Deje $H$ ser finito dimensionales álgebra de Hopf sobre un campo $k$ de característica positiva. El siguiente es un importante problema abierto:
Es el cohomology anillo de $Ext^\ast_H(k,k)$ un finitely generadas $k$-álgebra ?
Este es conocido por cocommutative álgebras de Hopf (este es un profundo teorema de Friedlander-Suslin fecha a partir de 1997), pero el caso general sigue sin resolverse.
Para más información, véase (2) en este taller de introducción: https://www.birs.ca/events/2015/5-day-workshops/15w5053
Un problema abierto en la teoría de álgebras de Hopf es la clasificación de punta álgebras de Hopf.
Un método para clasificar finito-dimensional punta de Hopf álgebras es el modo de Elevación de Andruskiewitsch y Schneider. El método fue demostrado ser exitosa en el caso de abelian coradical, véase, por ejemplo,
El problema en el caso de que el coradical es un no-grupo abelian todavía está abierta.
Voy a ser más preciso. El corazón del método es la comprensión de la estructura de ciertos finito-dimensional trenzado de álgebras de Hopf conocido como álgebras de Nichols. Álgebras de Nichols se construyen a partir de trenzado de espacios vectoriales. El trenzado de espacios vectoriales muy interesante, para la clasificación de los mencionados son Yetter-Drinfeld módulos de los grupos.
En la encuesta
uno encuentra los siguientes problemas:
Problema 1. Clasificar finito-dimensional álgebras de Nichols.
Problema 2. Obtener una "buena" presentación por generadores y relaciones de finito-dimensional álgebras de Nichols.
Estos problemas son, en general, abierto, que se resolvieron en el caso de trenzado de espacios vectoriales de diagonal tipo, es decir, Yetter-Drinfeld los módulos a través de abelian grupos. La primera de ellas fue resuelto por Heckenberger; la segunda, por Angiono. Ambas soluciones profundamente utilización de las denominadas Weyl groupoid. Referencias:
Así que me gustaría añadir lo siguiente como un problema en la teoría de álgebras de Hopf:
Clasificar finito-dimensional álgebras de Nichols no abelian grupos.
Los resultados parciales son conocidos. Sin embargo, varias preguntas siguen abiertas. Un interesante caso en particular está relacionado con grupos simétricos. Este problema en particular está conectado a algunos cuadrática álgebras conocido como Fomin-Kirillov álgebras.
Pequeño comentario. El Weyl groupoid es un análogo de la habitual grupo de Weyl. También funciona para Mentir super álgebras, ver este MO Pregunta.
La actualización. Otra interesante abrir problema relacionado con la punta de álgebra de Hopf es una conjetura de Andruskiewitsch y Schneider relacionados con la generación de grado uno. Un poco de información y una categórica generalización ver página 109 de:
La conjetura es conocido por ser cierto en muchos casos. Por ejemplo, es cierto para un finito-dimensional señaló álgebras de Hopf con abelian coradical:
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