El levantamiento de matrices mod 2 a enteros.

Question

La siguiente pregunta fue motivado por mi investigación.

Considere la posibilidad de una $n\times n$ matriz cuyos elementos son $0$'s o $1$'s tales que el determinante es impar. La pregunta es: ¿es posible asignar señales a los elementos de la matriz tal que el determinante de la matriz será igual a $1$? No sé una respuesta aún a los más débiles pregunta: ¿es posible la sustitución de algunas de las $1$'s en la matriz con números enteros impares, de modo que el determinante será igual a $1$?

Observación: se sabe que la natural reducción de mod $N$ mapa de $SL_n(\mathbb Z) \to SL_n(\mathbb Z/ N\mathbb Z)$ es surjective para cualquier $n,N$.

Answer 1

Yo creo que el más débil de la pregunta puede ser demostrado por inducción en $n$. El caso de $n=1$ es clara. Supongamos ahora para $n-1$ y ampliar la $n\times n$ determinante por la primera fila. Al menos uno de los términos en la expansión debe ser impar. Por lo tanto la matriz original $A$ tiene $(n-1)\times (n-1)$ submatriz $B$, decir que consta de entradas no en la fila 1 de la columna o de $j$, con impar determinante tal que $A_{1j}=1$. Por inducción podemos cambiar algunos de los 1 en $B$ a números enteros impares, de modo que la nueva matriz $B'$ satisface det$(B')=1$. Deje $A'$ ser $A$ después de la sustitución de $B$ con $B'$. Ahora det$(A')= A_{1j} +$ términos que no impliquen $A_{1j}$, dicen det$(A')=A_{1j}+c$. Desde $A_{1j}=1$ y det$(A')$ es impar, se deduce que el $c$ es incluso. Por lo tanto, podemos sustituir $A_{1j}$ con el entero impar $1-c$, de modo que el resultado de la matriz tiene determinante 1.

Answer 2

Quiero dirigirme a los más débiles de la cuestión en un contexto más general de la configuración:

Dada cualquier matriz sobre $\mathbb{Z}$ con determinante $1$ mod $m$. Es posible añadir los múltiplos de $m$ a cada entrada, para obtener una matriz con determinante uno?

Llamar a una matriz transformables, si esto es posible. Dado cualquier $A$ matrix sobre la $\mathbb{Z}$. Veamos la imagen de la inducida por el mapa de $\mathbb{Z}^n\rightarrow \mathbb{Z}^n$. Es un submódulo de $\mathbb{Z}^n$. Para cualquier submódulo con rango de $k$ siempre es posible encontrar una base de $b_1,\ldots,b_n$ de % de $\mathbb{Z}^n$ y números de $r_1,\ldots,r_k$, de tal manera que $r_i|r_{i+1}$ para $i=1\ldots k-1$ e $r_1b_1,\ldots r_kb_k$ es una base del submódulo. La prueba de esto es aproximadamente la misma que la prueba de la estructura teorema de finitely generado abelian grupos.

Esto nos dice, que podemos escribir nuestra matriz $A$ en la forma $A=BDC$ donde $B$ e $C$ es invertible y $D$ es una matriz diagonal, con las entradas $r_1,\ldots ,r_n$ desde arriba. Como el determinante no es cero, la imagen debe tener rango completo y, por tanto,$k=n$.

Es fácil ver que a la izquierda (derecha) de la multiplicación con invertible matrices no cambia el transformability. Así que podemos asumir, que $A$ tiene la forma dada. Vamos a reducir de forma inductiva el número de no-diagonal entradas de $A$ sin cambiar el determinante modulo $m$. Este número es la longitud de $\mathbb{Z}^n/Im(A)=\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}/r_i$.

Supongamos que hay un no-diagonal de la entrada de $r_i$. Entonces tiene que haber una segunda $r_{i'}$, como producto de todas las entradas de la diagonal es $1$ mod $m$. De lo contrario, este es el último no diagonal de la entrada y tiene que ser $1$ mod $m$ y podemos transformar la matriz en la matriz de identidad.

Ahora agregue $m$ a $r_i$ y se convertirá en coprime a los otros no una entrada $r_{i'}$, como $r_i|r_{i'}\;,\;gcd(m,r_i)=1=gcd(m,r_i')$. Por lo tanto tenemos $\mathbb{Z}/(r_i+m)\oplus\mathbb{Z}/r_{i'}\cong\mathbb{Z}/((r_i+m)r_{i'})$ Llame a la matriz resultante $A'$ y observar que la longitud de $\mathbb{Z}^n/Im(A')$ es uno de los más pequeños, que la longitud de $\mathbb{Z}^n/Im(A)$. Entonces podemos volver a encontrar la forma normal para $A'$ y repita este proceso hasta que terminamos con la matriz de identidad. Por lo tanto cada matriz con determinante $1$ mod $m$ es transformable.