"Functors entre mónadas": ¿cuáles son estos realmente se llama?

Question

Deje $(S,\eta,\mu)$ ser una mónada en una categoría $C$, e $(T,\eta,\mu)$ una mónada en una categoría $D$. El siguiente tipo de gadget es omnipresente: un functor $F:D\to C$, junto con un natural mapa de $\sigma: SF\to FT$, la satisfacción de las identidades

• $F\eta = \sigma\circ \eta F$, y
• $\sigma\circ \mu F = F\mu\circ \sigma T\circ S\sigma$.

Yo podría llamar a esto una "functor entre mónadas". Pregunta: ¿Qué hace la gente en realidad llamar a estos, y lo que son los estándares de referencias?

Algunos ejemplos al azar:

• $S$ es el libre conmutativa anillo de la mónada en el abelian grupos, $T$ es el libre conmutativa monoid mónada en conjuntos, y $F$ es el libre abelian grupo sobre un conjunto. (En este caso, $\sigma$ es un isomorfismo.)

• $S=T=J$, la libre asociativa monoid en punta espacios (donde nos de la fuerza en el punto de base a la unidad de elemento), con $F=$ bucle espacio. (Enriquecido categoría de la teoría proporciona una gran cantidad de ejemplos como este.)

• Si $F=$ functor identidad, recuperar la noción usual de morfismos entre las mónadas.

Algunas notas:

• Un functor entre las mónadas como el de arriba te da una manera de dar un $T$-álgebra en un $S$-álgebra, por lo que obtener un functor $F^*: \mathrm{Alg}_T\to \mathrm{Alg}_S$.

• Usted puede componer "functors entre mónadas", por lo que hay una categoría con estos como morfismos, y las mónadas como de los objetos.

Answer 1

Hasta donde yo sé, el primer papel en esta era:

Ross Street, La teoría formal de las mónadas. Diario de Pura y Aplicada, Álgebra 2 (1972), 149-168.

Llamó mónada functors. Por lo mismo, pero con la dirección de la transformación natural invertido, llamó mónada opfunctors. Usted puede también considerar el caso en que la transformación natural es un isomorfismo, o incluso la identidad, pero se me olvido lo llamó.

(Si la Calle no era el primer papel en esto, ciertamente, era temprano y muy influyente. Y es un hermoso papel).

En un intento de hacer que la terminología de 2-categoría de la teoría más sistemática, los llamé lax mapas de mónadas en mi libro Mayor Operads, Categorías Superiores (TAZA, 2004), y del mismo modo colax etc. No sé si alguien más lo siguieron.

Recientemente he examinado la tesis de uno de Calle de los estudiantes, que creo que se utiliza una terminología diferente de lo que en La teoría formal de las mónadas. Me olvide de lo que era, pero yo voy a investigar si recuerdo.

Answer 2

Pumplün, D. Eine Bemerkung über Monaden und adjungierte Funktoren. De matemáticas. Ann. 185 (1970). 329-337. también define una categoría de mónadas.