Como se señaló en los comentarios, la pregunta tiene una respuesta positiva para domar Artin pilas (ver, por ejemplo, [Ols12, la Proposición 6.1]) y también para los no-tame Deligne–Mumford pilas (ver [KV04, Lem. 2]). Sin embargo, es también cierto en general. Todo, vamos a $\mathscr{X}$ ser una expresión algebraica de la pila con finito de inercia y deje $\pi\colon \mathscr{X}\to X$ denota su gruesa espacio de moduli.
Proposición 1.
El mapa de $\pi^*\colon \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$ es inyectiva y si $\mathscr{X}$ es cuasi-compacto, entonces $\mathrm{coker}(\pi^*)$ ha finito exponente, es decir, existe un entero positivo $n$ tal que $\mathcal{L}^{n}\in \mathrm{Pic}(X)$ por cada $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$.
Por simplicidad, suponga que $\pi$ es finito tipo (como es el caso de la si $\mathscr{X}$ es finito tipo de más de un noetherian base scheme), aunque esto no es necesario para cualquiera de los resultados (la única propiedad que se usa es que $\mathscr{X}\to X$ es un universal homeomorphism y que invertible poleas son triviales sobre semi-local anillos, etc).
Lema 1. El functor $\pi^*\colon \mathbf{Pic}(X)\to \mathbf{Pic}(\mathscr{X})$ es totalmente fiel. En particular:
Si $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X)$, luego de la adición de mapa de $\mathcal{L}\to\pi_*\pi^*\mathcal{L}$ es un isomorfismo naturales y el mapa de $H^0(X,\mathcal{L})\to H^0(\mathscr{X},\pi^*\mathcal{L})$ es un isomorfismo.
El natural de mapa de $\pi^*\colon \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$ es inyectiva.
Por otra parte, una línea de paquete en la $\mathscr{X}$ que es localmente trivial en $X$ proviene de $X$, que es:
- Deje $g\colon X'\to X$ ser fielmente plana y localmente finito de presentación y deje $f\colon \mathscr{X}':=\mathscr{X}\times_X X'\to \mathscr{X}$ denotar el pull-back. Si $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$ es tal que $f^*\mathcal{L}$ es en la imagen de $\pi'^*\colon\mathrm{Pic}(X')\to \mathrm{Pic}(\mathscr{X}')$,, a continuación,$\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X)$.
Prueba. Declaración 1 se sigue inmediatamente de la isomorfismo $\mathcal{O}_X\to \pi_*\mathcal{O}_{\mathscr{X}}$.
Para las otras declaraciones, vamos a $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$ e identifique $\mathcal{L}$, con una clase de $c_\mathcal{L}\in H^1(\mathscr{X},\mathcal{O}_{\mathscr{X}}^*)$. Si $\mathcal{L}$ es en la imagen de $\pi^*$ o localmente en su imagen, entonces existe un fppf cubriendo $g\colon X'\to X$ tal que $f^*\mathcal{L}$ es trivial. Esto significa que podemos representar $c_\mathcal{L}$ por un Čech $1$-cocycle para $f\colon \mathscr{X}'\to \mathscr{X}$. Pero desde $H^0(\mathscr{X}\times_X U,\mathcal{O}_{\mathscr{X}}^*)=H^0(U,\mathcal{O}_X^*)$ para cualquier tv de $U\to X$, esto significa que $c_\mathcal{L}$ es administrado por un Čech $1$-cocycle para el revestimiento $X'\to X$ dando una clase única en $H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$. QED
Como se ha mencionado en los comentarios, al $\mathscr{X}$ es domar, a continuación, 3. se puede reemplazar con: $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$ es en la imagen de $\pi^*$ si y sólo si la restricción a la residual gerbe $\mathcal{L}|_{\mathscr{G}_x}$ es trivial para cada $x\in |\mathscr{X}|$ (ver [Alp13, Thm 10.3] o [Ols12, la Proposición 6.1]).
Lema 2.
Si existe una expresión algebraica de espacio $Z$ y de un número finito de morfismos $p\colon Z\to \mathscr{X}$ tal que $p_*\mathcal{O}_Z$ es localmente libre de rango $n$, entonces el cokernel de $\pi^*\colon \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$ es $n$-torsión.
Prueba. Si $\mathcal{L}\in\mathrm{Pic}(\mathscr{X})$,, a continuación, $\mathcal{L}^{n}=N_p(p^*\mathcal{L})$ (la norma se define y se comporta como se esperaba desde $p$ es plana). Desde $Z\to X$ es finito, podemos trivializar $p^* \mathcal{L}$ étale-localmente en $X$. Esto implica que la norma es trivial étale-localmente en $X$, es decir, $\mathcal{L}^{n}$ es trivial étale-localmente en $X$. El resultado se sigue de 3. en el anterior lema. QED
La prueba de la Proposición 1. Existe una étale cubriendo $\{X'_i\to X\}_{i=1}^r$ tal que $\mathscr{X}'_i:=\mathscr{X}\times_X X'_i$ admite un número finito de plano que cubre $Z_i\to \mathscr{X}'_i$ de algunas constantes rango $n_i$ por cada $i$. Por los dos lemas anteriores, el entero $n=\mathrm{lcm}(n_i)$, que mata cada elemento en el cokernel de $\pi^*\colon \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(\mathscr{X})$. QED
También es fácil de demostrar cosas como:
Proposición 2.
Deje $f\colon \mathscr{X}'\to \mathscr{X}$ ser representable de morfismos y deje $\pi'\colon \mathscr{X}'\to X'$ denotar el grueso del espacio de moduli y $g\colon X'\to X$ el inducido de morfismos entre el grueso de los módulos de los espacios. Si $\mathscr{X}$ es cuasi-compacto y $\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(\mathscr{X}')$ es $f$-amplio, entonces existe un $n$ tal que $\mathcal{L}^{n}=\pi'^*\mathcal{M}$ e $\mathcal{M}$ es $g$-amplio.
Prueba. La pregunta es local en $X$, por lo que podemos suponer que la $X$ es afín y $\mathscr{X}$ admite un número finito de planos de morfismos $p\colon Z\to \mathscr{X}$ de constante rango de $n$ con $Z$ afín. Deje $p'\colon Z'\to \mathscr{X}'$ ser el pull-back. A continuación, $p'^*\mathcal{L}$ es suficiente. Hemos visto que el $\mathcal{L}^{n}=\pi'^*\mathcal{M}$ para $\mathcal{M}\in \mathrm{Pic}(X')$. Es suficiente para demostrar que las secciones de $\mathcal{M}^m=\mathcal{L}^{mn}$ por diversos $m$ define una base para la topología de $X'$. Por lo tanto vamos a $U'\subseteq X'$ ser un subconjunto abierto y elegir cualquier $x'\in U'$. Desde $\mathcal{L}|_{Z'}$ es amplio, podemos encontrar $s\in \Gamma(Z',\mathcal{L}^m)$ tal que $D(s)=\{s\neq 0\}$ es un barrio abierto de la preimagen de $x'$ (que es finito) contenida en la preimagen de $U'$. Deje $t=N_p(s)$. A continuación,$t\in H^0(\mathscr{X}',\mathcal{L}^{mn})=H^0(X',\mathcal{M}^m)$. Pero $\mathscr{X}\setminus D(t)=p(Z\setminus D(s))$ lo $D(t)=X\setminus \pi(p(Z\setminus D(s)))$ es un barrio abierto de $x'$ contenida en $U'$. QED
Agradecimientos agradezco los comentarios de Jarod Alper y Daniel Bergh.
Referencias
[Alp13] Alper, J. Bueno módulos de espacios para Artin pilas, Ann. Inst. De Fourier (Grenoble) 63 (2013), no. 6, 2349-2402.
[KV04] Kresch, A. y Vistoli, A. En los revestimientos de Deligne–Mumford pilas y surjectivity de la Brauer mapa, Bull. Londres Matemáticas. Soc. 36 (2004), no. 2, 188-192.
[Ols12] Olsson, M. Integral de los modelos de los módulos de espacios de G-torsors, Ann. Inst. De Fourier (Grenoble) 62 (2012), no. 4, 1483-1549.
