Ruta de aprendizaje para la prueba de las Conjeturas de Weil

Question

Asumir que usted es un algebraicas geometría avanzada estudiante que ha dominado Hartshorne's libro complementado en la aritmética de lado por la introducción de Lorenzini - "Una Invitación a la Aritmética Geometría" y por Liu - "Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas".

• ¿Cuál sería un buen camino de aprendizaje hacia la prueba de las Conjeturas de Weil para variedades algebraicas (no sólo de las curvas)?

• Lo moderno referencias están disponibles y el orden en que debe ser estudiado?

Además de la original del artículo I y el artículo II por Deligne y los resultados en la racionalidad por la Obra, no es el libro Freitag/Kiehl' - "Étale Cohomology y las Conjeturas de Weil" y el pdf en línea por Milne - "Conferencias sobre Étale Cohomology". El primer título está fuera de stock y difícil de obtener, y la segunda me parece demasiado breve y conciso.

• Es mejor maestro étale cohomology por sí mismo en otros lugares y, a continuación, consulte los artículos originales? Para mayor algebraicas/aritmética de fondo necesario?

Gracias de antemano por las sugerencias sobre cómo abordar un programa de estudio, y para cualquier relacionadas con el asesoramiento hacia una auto-ruta de aprendizaje de la aritmética geometría. (Esta pregunta es de la cruz publicado a las matemáticas.stackexchange para todo tipo de estudiantes y profesionales pueden ofrecer sus consejos, independientemente de su pertenencia a estos foros.)

Answer 1

Yo no soy un experto, pero aquí es cómo iba a planear mi viaje:

Obviamente, hay dos partes: la racionalidad + funcional de la ecuación + comparación con los números de Betti (que se derivan de la construcción de etale cohomology) y la hipótesis de Riemann (que es mucho más profundo).

Por lo tanto, seguir el siguiente plan:

1. Aprender clásica topología algebraica, esp. singular cohomology, la dualidad de Poincaré, Lefschetz punto fijo fórmula, Leray-Serre espectral de la secuencia.
2. Aprender un resumen de $\ell$-ádico cohomology, sin detalles técnicos. En primer lugar, entender cómo una buena cohomology teoría como en 1. por encima de la voluntad de probar la primera parte de las conjeturas. Entonces entiendo etale y topología de la definición de $\ell$-ádico cohomology cómo los grupos de la Frobenius de morfismos pasa a actuar sobre ellos.
3. Mecanismos técnicos que subyacen a $\ell$-ádico cohomology. No he estudiado esto a mí, muy bien, pero Milne del libro parece ser un estándar de referencia.
4. Leer Deligne del Weil I artículo. Está muy bien escrito y que no necesitan mucho más que 1. y 2. por encima de. La principal herramienta técnica es el uso de Lefschetz lápices, que está allí sólo para hacer la inducción en la dimensión de lo posible. Usted puede simplemente asumir Lefschetz lápices existen, o mirar para SGA, si está interesado. Tenga en cuenta que en Deligne enfoque es fundamental para trabajar con edificable gavillas, y no sólo la constante de la gavilla.
5. Leer Deligne del Weil II artículo. Se reprocha a Weil I y añade mucho más, pero es mucho más largo y más difícil.

Nota: 3. y 4. anterior podría ser en su mayoría independientes. Una muy buena referencia es Katz artículo "L-funciones y monodromy: cuatro conferencias sobre Weil II".

Answer 2

Estimado Javier,

Yo no estaba seguro de qué hacer de su pregunta al principio, pero creo entender algunas de sus motivaciones, de su otra pregunta. Si usted tiene interés en esta área, entonces creo que sería útil para el estudio de etale cohomology. Independientemente de si o no usted consigue a la Weil conjeturas, la etale topología tiene todo tipo de usos, por lo que el esfuerzo no iba a ser en vano. Aparte de las referencias que mencionas, ver las respuestas y comentarios de libros de texto para Etale Cohomology

Answer 3

Aquí están Uwe Jannsen de notas de la conferencia en étale cohomology http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Jannsen/Etale-gesamt-eng.pdf y Weil yo http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Jannsen/home/Weil-gesamt-eng.pdf y Laumon de la transformada de Fourier http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Jannsen/home/Garben-gesamt-engproof.pdf.

Para Weil II, también hay Kiehl'-Weissauer.