Cómo determinar algebraicamente si una ecuación tiene infinitas soluciones o no?

Question

Yo estaba aprendiendo por primera vez acerca de la fracción parcial de la descomposición. Quien lo explica, se hace hincapié en que la fracción debe ser adecuado con el fin de ser capaz de descomponer la fracción. Sentía curiosidad por saber qué pasa si trato de dividir una fracción impropia, por Lo que traté de hacer uno:

$\frac{x^2 - 4}{(x + 5)(x - 3)}$

Llegué a la ecuación: $\frac{(Ax + B)(x - 3) + (Cx + D)(x + 5)}{(x + 5)(x - 3)} = \frac{x^2 - 4}{(x + 5)(x - 3)}$. Tengo 4 incógnitas: a, B, C y D.

$\therefore (Ax + B)(x - 3) + (Cx + D)(x + 5) = x^2 - 4$

Después de su expansión y de reagrupar los coeficientes:

$(A + C) x^2 + (-3A + B + 5C + D)x + (-3B + 5D) = x^2 - 4$

Aquí el coeficiente del término $x^2$ es 1 por lo tanto:

$(A+C) = 1$

de forma similar:

$(-3A + B + 5C + D) = 0$

$(-3B + 5D) = -4$

Todavía tengo que conseguir uno más de la ecuación a ser capaz de resolver este sistema, así que lo he sustituido 1 para x y tengo esta ecuación:

$-2A - 2B + 6C + 6D = -3$

Después de conseguir cuatro ecuaciones he utilizado este sitio para resolver el sistema de ecuaciones. Unfortinetly no tengo soultion. Trató de otro sitio y también el mismo resultado.

He intentado utilizar diferentes valores para x y consiguió otro equaitons como:

para x = 2 : $-2A - B + 24C + 7D$

para x = -1 : $4A - 4B - 4C + 4D$

para x = -2 : $10A - 5B - 6C + 3D$

Pero también que no funciona. Siempre que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

Después de tring para averiguar por qué está pasando esto, me las he arreglado para probar lógicamente que esta ecuación:

$(Ax + B)(x - 3) + (Cx + D)(x + 5) = x^2 - 4$

tiene un infinito de soluciones y mi planteamiento era el siguiente:

Después de hacer polinómica de la división y de la descomposición de la fracción mediante la forma tradicional, el resultado debe ser:

$\frac{5}{8(x - 3)} - \frac{21}{8(x - 5)} + 1$

Ahora puedo agregar el último término (el uno) para el primer plazo y obtener la siguiente manera:

$\frac{8x-19}{8(x-3)} - \frac{21}{8(x+5)}$

Desde que solución puedo ver que $A = 0, B = \frac{-21}{8}, C = 1, D = \frac{-19}{8}$. Después de todos estos son sólo los coeficientes de los términos. y esta solución ha funcionado muy bien.

Alternativamente puedo agregar el uno para el segundo término en su lugar y obtener:

$\frac{5}{8(x-3)} + \frac{8x + 19}{8(x+5)}$

Ahora $A = 1, B = \frac{19}{8}, C = 0, D = \frac{5}{8}$

Generalmente, después de añadir el uno a cualquiera de los términos, me puede agregar cualquier número a uno de los términos y agregar su negativa para el otro término y la ecuación seguirá siendo el mismo, Pero el valor de la 4 constantes (a, B, C, y D) va a cambiar. Y desde que me convencí de que hay un infinito de soluciones a esta ecuación.

Pero Algebraicamente? Yo no soy capaz de demostrar que tiene un infinito de soluciones de manera algebraica. Y mi pregunta es cómo demostrar algebraicamente que esta ecuación tiene infinitas soluciones? O, en general, ¿cómo saber si la ecuación tiene una solución o una infinita?

Answer 1

Steven Stadnicki ha dado un fácil algebraicas enfoque no muy diferente de la suya para ver por qué hay una infinidad de soluciones. Pero aquí hay algunos comentarios sobre lo que hizo:

1. Correctamente escribió las ecuaciones para los coeficientes de $x^0,x^1,x^2$. Observe que si usted encuentra $A,B,C,D$ satisfacer las tres ecuaciones, entonces usted tiene $\frac{(Ax + B)(x - 3) + (Cx + D)(x + 5)}{(x + 5)(x - 3)}$ $= \frac{x^2 - 4}{(x + 5)(x - 3)}$ por cada real/complejo de $x∉\{3,-5\}$. Por lo tanto, si usted demuestra que ese sistema de tres ecuaciones tiene infinitas soluciones, entonces el problema original de encontrar una fracción parcial de la descomposición también tiene una infinidad de soluciones. También existe la no-tan trivial hecho de que si $\frac{(Ax + B)(x - 3) + (Cx + D)(x + 5)}{(x + 5)(x - 3)}$ $= \frac{x^2 - 4}{(x + 5)(x - 3)}$ infinitamente muchos reales y los números complejos, entonces los coeficientes deben coincidir. Esta es la razón por la que quiere igualar los coeficientes en el primer lugar.

2. Usted dijo que usted dijo que usted debe tener una fracción propia para ser capaz de realizar parcial fracción de descomposición. Dependiendo de lo que entendemos por fracciones parciales, que sea incorrecta o engañosa. Como se observa, tiene varias formas de descomponer en una cierta manera. Pero también es cierto que no hay una única descomposición de $\frac{x^2 - 4}{(x + 5)(x - 3)}$ en la suma de $\frac{Ax+B}{x+5}+\frac{C}{x-3}$ para las constantes $A,B,C$. Si eso no cuenta como una fracción parcial de la descomposición, la suya no iba bien, y la coincidencia de los coeficientes como hizo muestra que $\frac{x^2 - 4}{(x + 5)(x - 3)}$ no puede ser descompuesto en la suma de $\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-3}$ para las constantes $A,B$.

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Más generalmente, si queremos expresar algo que en cierta forma con algunos parámetros constantes, con frecuencia se puede escribir un sistema de ecuaciones que los parámetros que se deben cumplir, y la transforman en otros sistemas equivalentes, y espero que podamos llegar a un sistema que fácilmente podemos encontrar una solución. Esto no es sólo aplicable a ecuaciones lineales, pero otros tipos de ecuaciones así. Por ejemplo, considere el siguiente sistema:

$a^2+b = 1$.

$b^2+a = 2$.

Podemos transformarlo en un sistema equivalente usando la primera ecuación para eliminar una variable, de la siguiente manera:

$a^2+b = 1$ e $b^2+a = 2$

  $⇔$ $b = 1-a^2$ e $b^2+a = 2$

  $⇔$ $b = 1-a^2$ e $(1-a^2)^2+a = 2$

Observe que si usted encuentra una solución a la segunda ecuación de $(1-a^2)^2+a = 2$, llegar a una solución a la última línea porque "$b$" se produce sólo en la primera ecuación y aislado en un lado.

Si haces este procedimiento de eliminación sistemática de un sistema de ecuaciones lineales, que se centrará principalmente en hacer lo que se llama la eliminación Gaussiana, y que en esencia se llega a una escalonada. En esa forma es fácil determinar de inmediato si el sistema tiene cero, uno o infinitamente muchas soluciones, y también cuántos grados de libertad hay.

Answer 2

Sí hay una manera. Después de la expansión y la reagrupación de los coeficientes, se tiene un sistema de ecuaciones a resolver para $A,B,C,D$.

Considere el ejemplo del sistema de ecuaciones $x+y=2$, e $2x+2y = 4$. Si puedo resolver la primera ecuación para $x$, me sale $$x=2-y$$ Then if I plug this into the second equation: $$2(2-y) + 2y=4$$ $$4 - 2y + 2y = 4$$ $$4 = 4$$ Notice that the $y$ disappeared. I could solve for $x$, but then not for $s$. Similarly, if I solved for $s$ first, the $x$ would disappear. This means that the only constraint on my solution is that $x=2-y$ (there is no requirement for $x$ and $$ y a ser cualquier número).

De modo que las posibles soluciones a mi sistema se $x=2, y=0$, o $x=20, y=-18$, o de cualquier par de números de la forma $(x,y)=(2-t,t), t\in \mathbb{R}$.

En mi ejemplo, yo puedo describir el espacio de la solución como $\{(-t,t)+(2,0):t\in \mathbb{R}\}$ que contiene una infinidad de puntos.

Para su problema, usted puede hacer la misma cosa. Tratando de resolver el sistema de ecuaciones, usted debe ser capaz de demostrar que el número de soluciones es infinito.

Answer 3

He aquí una forma sencilla de ver que esta particular de la ecuación ($(Ax+B)(x−3)+(Cx+D)(x+5)=

Answer 4

Únicamente para resolver durante cuatro incógnitas por medio de ecuaciones lineales, cuatro ecuaciones son necesarios , pero en general no son suficientes. A ser suficiente, las cuatro ecuaciones deben ser linealmente independientes. Eso significa que no hay manera de producir una de las cuatro ecuaciones alguna combinación lineal de las otras tres ecuaciones (opcionalmente multiplicando cada uno por algún factor, a continuación, agregar la).

Para revisar lo que usted hizo, usted correctamente deduce que $$ (A + C) x^2 + (-3A + B + 5C + D)x + (-3B + 5D) = x^2 - 4 .$$

Es decir, se encuentran dos polinomios que tienen que ser iguales para todos los $x.$ La forma general de lo que has encontrado es $$ P x^2 + Q x + R = P'x^2 + Q'x + R',$$ donde en su caso $P=A+C,$ $Q=-3A + B + 5C + D,$ y así sucesivamente.

Luego correctamente decidió que $P=P',$ $Q=Q',$ e $R=R'.$

Lo siguiente que se trató de un caso particular, $x=1$ a ver qué iba a pasar. Ahora las cosas ya están recibiendo un poco cuestionable: se encuentra un montón de hechos basados en asumir algunas cosas es verdadera para todos los valores de $x$; así que efectivamente se han considerado ya como el caso de $x=1$ así como infinidad de otros casos.

Cuando se conecta $x=1$ en la ecuación de $P x^2 + Q x + R = P'x^2 + Q'x + R',$ usted obtener $$ P+Q+R = P'+Q'+R'. $$ Ahora eso es sólo lo que se consigue mediante la toma de $P=P',$ $Q=Q',$ e $R=R'$ (las tres ecuaciones que ya tenía), la suma de los tres lados izquierdo, la suma de las tres lados, el derecho y la configuración de estas sumas iguales. Este es un ejemplo muy simple de tomar una combinación lineal de tres ecuaciones para producir una cuarta ecuación.

Si usted hace esto con sus tres ecuaciones en su notación original (usando $A,B,C,$ e $D$ en lugar de $P,$ $Q,$ etc.) usted puede confirmar que su cuarta ecuación es sólo lo que se obtiene por la adición de los otros tres juntos.

Desde su cuarta ecuación era sólo una combinación lineal de las otras tres, no linealmente independiente, que no tiene ninguna utilidad para la toma de la solución única. Usted todavía tiene una infinidad de soluciones. Ya que las otras tres ecuaciones fueron linealmente independientes, sin embargo, ellos son suficientes para determinar tres variables; así una vez que asignar arbitrariamente un valor a uno de los cuatro valores de $A,B,C,$ o $D,$ los otros tres están decididos.

Conectar otros valores de $x$ es sólo va a conseguir más combinaciones lineales de las primeras tres ecuaciones. Por ejemplo, el uso de $x=2$ obtendrá $$ 4P + 2Q + R = 4P' + 2Q' + R', $$ es decir, antes de la adición de las ecuaciones $P=P',$ $Q=Q',$ e $R=R'$ se multiplica la primera ecuación por $4$ y la segunda ecuación por $2.$

Usted no recibirá ninguna información de esta manera que usted no tiene ya. Por otro lado, si usted no sabía que el tener $P x^2 + Q x + R = P'x^2 + Q'x + R'$ para todos los $x$ implícitas que $P=P',$ $Q=Q',$ e $R=R',$ podría demostrar que el hecho de que la sustitución de diferentes valores de $x$ en la ecuación. Tres valores de $x$ debería ser suficiente.

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Algunas notas relacionadas con el parcial fracción de descomposición:

"Parcial fracción de descomposición" se presenta típicamente como un algoritmo específico que se supone que se siga de una manera particular.

La forma en que usted está haciendo, usted puede terminar para arriba (al final de la descomposición) con términos como" $\frac{Ax+B}{x+5}.$ La habitual "parcial fracción" métodos completamente de evitar la creación de tales términos.

En algunas de las presentaciones que se les permita tener las cosas como $\frac{Ax+B}{(x+5)^2}$ ... no en el problema, por supuesto, ya que ustedes no tienen el cuadrado de factores en el denominador, pero en general es posible que el cuadrado de factores que producen y esta es una manera de tratar con ellos. Pero yo no sé de ningún método estándar que permite poner a $Ax+B$ en el numerador con un solo factor como $x+5$ en el denominador. Puesto que sólo tiene un factor de $x+5$ los métodos habituales, sólo permiten escribir una constante en el numerador con el denominador $x+5,$ es, $\frac{A}{x+5}.$

Y como se ha señalado ya en otra respuesta, la restricción de que debe iniciar con una fracción propia es realmente no es un impedimento para el uso del método, porque si usted comienza con una fracción impropia se puede utilizar el polinomio de la división larga para convertirla en la suma de un simple polinomio (no una fracción!) y una fracción propia. Si sigue ese método con su ejemplo, se terminaría de tener solamente dos incógnitas a resolver, no cuatro.

Answer 5

Tiene cuatro incógnitas, pero sólo tres ecuaciones, por lo tanto el sistema es forzosamente indeterminado.

¿Por qué tres ecuaciones ? Porque el cuarto es sólo la suma de los tres primeros, por lo que es linealmente dependiente y no aporta información nueva. Como el polinomio es de segundo grado, que tiene tres independiente de los coeficientes y usted no puede obtener más de tres ecuaciones independientes.