Probablemente este es un conocido pregunta. Considere la posibilidad de $S^2$, con una métrica de Riemann. Me gustaría preguntar ¿qué se sabe acerca de la estructura del conjunto de simple (sin auto-intersecciones) curvas cerradas sobre ella de la constante de curvatura geodésica.
He aquí una serie de preguntas.
1) Es cierto que a través de cada punto de $S^2$ pasa de una simple curva cerrada de curvatura constante? Si no, se puede estimar a partir de debajo de la proporción del área de $S^2$ cubierto por esas curvas?
2) Es cierto que para cada valor de la curvatura hay, al menos, $2$ simple curvas cerradas en $S^2$ de esta curvatura? O tal vez incluso más de $2$?
3) ¿Qué puede decirse acerca de la estructura global de estas curvas en un genérico $S^2$? Tomando la unión de todas esas curvas cerradas podríamos probar a cocinar a partir de ellas una superficie de (que se asigna de forma natural a $S^2$). Es algo que se conoce acerca de la topología de esta superficie?
Comentarios
1) El teorema de Birkhoff establece que cada uno de Riemann $S^2$ contiene al menos tres simple y cerrada geodesics, como José siguientes observaciones.
2) Para un genérico métrica en $S^2$ el conjunto de curvas de este conjunto debe ser unidimensional. De hecho, para cada valor fijo de curvatura se puede considerar un análogo de la línea geodésica de flujo en el espacio de unir vectores tangente a $S^2$ y se espera que cierra órbitas será aislado.
AÑADIDO. Se parece de verdad que estos son abiertos (y supongo duro) preguntas. Macbeth dio una muy buena referencia, que dice en particular que preguntas similares fueron planteadas previamente por Arnold, yo copie el Macbeth de referencia aquí, por lo que es visible para todo el mundo: http://count.ucsc.edu/~ginzburg/ARNOLD/mag-post.pdf
La actualización. La siguiente referencia : http://arxiv.org/abs/0903.1128 da una respuesta positiva a la pregunta 2) para las esferas de la no-negativo de la curvatura Gaussiana siempre tenemos en cuenta no sólo la simple curvas en $S^2$, pero también las curvas que unen inmerso discos.
Uno más de la actualización. Hay un buen artículo nuevo http://arxiv.org/abs/1105.1609 que proporciona algunos resultados adicionales relativos a la pregunta 2) por $S^2$ de curvatura positiva. Este artículo también proporciona todas las referencias necesarias a partir de lo cual se puede concluir que pregunta 2) fue considerado por Poincaré en 1905, como está escrito en el artículo de S. P. Novikov http://iopscience.iop.org/0036-0279/37/5/R01/pdf/0036-0279_37_5_R01.pdf
