Son las siete dimensiones de la cruz producto único?

Question

Estoy confundido acerca de cómo diferentes 7D cruz de productos que hay. Soy la definición de una 7D cruz de producto a cualquier bilineal mapa de $V \times V \to V$ (donde $V$ es el interior del espacio del producto $\mathbb{R}^7$ dotado con el producto interior Euclidiano) tal que para todos los $a, b \in V$:

1. $(a \times b) \cdot a = (a \times b) \cdot b = 0$ y
2. $|a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2$.

(Sé que otras definiciones se utilizan a veces en la literatura.)

Massey 1983 (PDF) proporciona una construcción que dicen caracteriza a la 7D producto cruzado "de forma exclusiva hasta el isomorfismo", pero no entiendo lo que quieren decir con "hasta isomorfismo."

Por otro lado, la página de Wikipedia sobre el 7D cruz del producto afirma que hay 480 diferentes tablas de multiplicar para el 7D producto cruzado. Pero en realidad, estas funciones distintas en el resumen (coordenadas) de espacio vectorial, o simplemente la misma función escrita con respecto a las diferentes opciones de ordenado base?

La página de la Wikipedia también dice que "la" cruz del producto (hace uso de la palabra "el" implica que es único, o hacer lo que realmente significa "una" cruz del producto?) sólo es invariante bajo el 14 dimensiones de los subgrupos $G_2$ de las 21 dimensiones del grupo de $SO(7)$. No tengo una gran comprensión intuitiva de cómo pensar acerca de este resultado. Pero desde la definición de propiedades de la cruz del producto están claramente $SO(7)$-invariante, parece que los resultados me indican que no es en realidad un continuo familia de 7D productos cruzados isomorfo al espacio homogéneo $SO(7)/G_2$. Si eso es correcto, entonces el espacio de la 7D productos cruzados en realidad constituye una de las 7 dimensiones del colector, y por tanto, hay una uncountably número infinito de diferentes 7D de los productos cruzados.

Así que, ¿cuántos diferentes 7D cruz de productos hay? Uno? 480? Un uncountably número infinito? ¿Cómo debo pensar acerca de esto?

(Supongo que la respuesta es "un uncountably número infinito", y que (a) hay una cierta sutileza oculto en Massey de la frase "hasta el isomorfismo", que hace que la respuesta mayor que uno, y (b) el 480 tablas de multiplicar mencionado en Wikipedia son en realidad la restricción de la completa variedad de productos cruzados para aquellos cuyos vectores de la base son permutaciones de cada uno de los otros.)

Answer 1

Mi pregunta ha reunido a varios comentarios útiles, que en conjunto me han dado suficientes pedazos de información que creo que ahora tengo la respuesta. Creo que esto es correcto, pero por favor, no dude en corregirme si estoy haciendo algún error:

A lo largo de esta respuesta, la carta de $R$ indican un elemento de (la fundamental representación de) $SO(7)$, e $\times_1$ e $\times_2$ indican 7D de los productos cruzados. Vamos a utilizar corchetes para indicar el vector rotado $R[a]$ y subíndices para indicar cualquier cantidades adicionales que la rotación $R$ podría depender.

Desde la definición de la cruz correcciones de producto de su magnitud, es obvio que tenemos que $|a \times_1 b| \equiv |a \times_2 b|$ y así $$ un \times_2 b \equiv R_{\times_1, \times_2, a, b} [a \times_1 b]. $$ (I. e. el mapa es la norma-preservar, pero no a priori lineal en $a$ o $b$.)

Sin embargo, resulta que cualquiera de los dos 7D cruz de productos están relacionados por una sola rígido de rotación de todo el espacio vectorial: que es, para cualquiera de los dos productos cruzados $\times_1$ e $\times_2$, tenemos $$ un \times_2 b \equiv \pm R_{\times_1, \times_2} \left[ R_{\times_1, \times_2}^{-1}[a] \times_1 R_{\times_1, \times_2}^{-1}[b] \right]. $$ (Podemos dejar el "$\pm$" si permitimos $R$ a ser un elemento general de la $O(7)$ en lugar de $SO(7)$.) Este resultado no trivial es lo que Massey significa cuando dice que la 7D cruz del producto "único hasta el isomorfismo"; por "isomorfismo", se refiere a una sola rígido de rotación de la totalidad del espacio vectorial.

Ahora vamos a pensar en esto desde una perspectiva diferente. Anteriormente, empezamos con dos arbitraria fija de los productos cruzados $\times_1$ e $\times_2$ y se considera una rotación $R_{\times_1, \times_2}$ relacionados con ellos. Ahora vamos en lugar de empezar con un determinado producto cruzado $\times_1$ e imaginar un genérico de "versión rotada" $$ f_{\times_1,R}(a, b) := R\left[ R^{-1}[a] \times_1 R^{-1}[b] \right], \qquad R \en(7). $$ Podemos mostrar que $f_{\times_1, R}$ es también un producto cruzado $\times_2$ (con la misma orientación como $\times_1$ si $R \in SO(7)$). Este es, en cierto sentido, a la inversa de la anterior resultado; el resultado anterior indica que cualquier dos de los productos cruzados son las rotaciones de cada uno de los otros, y este resultado indica que la rotación de cualquier producto cruzado es otro producto cruzado.

En 3D, resulta que hay un solo producto cruzado $\times$ (hasta la orientación de la inversión) y $f_{R,\times} \equiv \times$ para todos los $R \in SO(3)$. Pero esto no es cierto en la 7D. En 7D resulta que para cualquier fijo de producto cruzado $\times_1$, la reclamación $f_{\times_1, R} \equiv \times_1$ sólo es cierto para un conjunto de rotaciones $R$ , lo que forma una adecuada subgrupo de $SO(7)$ que es isomorfo a la excepcional Mentira grupo $G_2$. (Como Jason DeVito se explica en los comentarios, la exacta subgrupo de $SO(7)$ depende de $\times_1$, pero siempre es isomorfo a $G_2$.)

El conjunto de distintas 7D productos cruzados es, por tanto, $X := SO(7)/G_2$. (Más precisamente, este es el conjunto de transformaciones que se asigna arbitrariamente el cruce inicial de productos en cualquier otro producto cruzado.) Desde $SO(n)$ es siempre una simple Mentira grupo, $G_2$ no es un subgrupo normal de $SO(7)$. Por lo $X$ no tiene la estructura completa de una Mentira grupo, pero sólo de un espacio homogéneo. De hecho, resulta que este espacio homogéneo $SO(7)/G_2$ es isométrico a la real proyectiva del espacio $\mathbb{R}P^7$.

Ahora vamos a fijar una base ortonormales de $\mathbb{R}^7$ y considerar el conjunto de los productos cruzados que mapa de vectores de la base a vectores de la base. Una manera de hacer esto es elegir un arbitrarios, producto cruzado $\times_1$ , y luego considerar la cosets $R\, G_2 \in X$ que transformar $\times_1$ a otro producto cruzado con la misma propiedad de la asignación de vectores de la base a vectores de la base. Nos parece que este es un subconjunto finito de $X \cong \mathbb{R}P^7$ con 480 elementos. (Pero los otros elementos de la $X$ son todavía perfectamente válida de la cruz de los productos).

TLDR: Hay un uncountably número infinito de diferentes 7D cruz de productos, y la forma de un Reimannian colector isométrica a la real proyectiva del espacio $\mathbb{R}P^7$.