Aarón y fedja han señalado que el problema es equivalente a encontrar el lado convexo de la región en el plano con un área de $1/2$ con la más alta probabilidad de que un azar de la línea no se cruzan.
El óptimo convexa de la región de $\Delta$ tiene límite de una unión de ocho segmentos, cada uno la satisfacción de una ecuación diferencial a partir de una determinada familia de un parámetro, que por lo tanto son lisas.
Elige una esquina de la plaza, elegir las coordenadas de modo que la esquina es el punto de $(0,0)$, y considerar el segmento de la frontera $C$ de % de $\Delta$ cuya tangente a las líneas de contacto de los dos lados de la plaza adyacente a ese punto.
Si escribimos este segmento de $C$ como la gráfica de una función decreciente $y(x)$, entonces la recta tangente en el punto de $(x,y)$ conecta los puntos de $\left(x- \frac{y}{\dot{y}},0\right)$ e $\left(0, y+ \dot{y}x \right)$ en estas dos partes, en la $\dot{y}$ es la derivada con respecto al $x$. Así que si trazamos la región en la $a,b$ plano que consta de los $(a,b)$ de manera tal que la línea que conecta $(a,0)$ e $(b,0)$ no se cruzan $\Delta$, el límite de la región es la paramétricas de la curva de $\left(x- \frac{y}{\dot{y}}, y- \dot{y}x \right)$ y por lo tanto el área de la región es $$ - \int \left(x- \frac{y}{\dot{y}} \right) \frac{d}{dx} \left(y - \dot{y}x \right) dx$$
$$= - \int \left(x- \frac{y}{\dot{y}} \right) \left(\frac{dy}{x} - \ddot{y}x - \dot{y} \right) dx$$
$$= \int x \ddot{y} \left(x- \frac{y}{\dot{y}} \right) dx$$
el signo negativo debido a $\left(y- \dot{y}x \right)$ es una función decreciente de $x$ por la convexidad.
Así que estamos optimizando $$ \int x \ddot{y} \left(x- \frac{y}{\dot{y}} \right) dx$$ subject to an upper bound on $ \int y dx$ que por multiplicadores de Lagrange es equivalente a la optimización de
$$ \int x \ddot{y} \left(x- \frac{y}{\dot{y}} \right) dx - \lambda \int y dx$$
para algunos $\lambda>0$.
Por el cálculo de variaciones, si fijamos $F(y, \dot{y}, \ddot{y}) = x \ddot{y} \left(x- \frac{y}{\dot{y}} \right) - \lambda y$, entonces el valor óptimo de $y$ satisface $$\frac{dF}{dy} - \frac{d}{dx} \left( \frac{dF}{d \dot{y}} - \frac{d}{dx} \left(\frac{dF}{d \ddot{y}} \right) \right) =0$$
Podemos evaluar
$$\frac{dF}{d \ddot{y}} = x^2 - \frac{xy}{\dot{y}}$$ $$\frac{d}{dx} \left(\frac{dF}{d\ddot{y}} \right)= 2x-\frac{y}{\dot{y}} - x + \frac{xy \ddot{y}}{\left(\dot{y}\right)^2}$$
$$ \frac{dF}{ d\dot{y}} =\frac{xy \ddot{y}}{\left(\dot{y}\right)^2}$$
$$ \frac{dF}{d \dot{y}} - \frac{d}{dx} \left(\frac{dF}{d \ddot{y} }\right) = \frac{y}{\dot{y}} -x $$
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{dF}{d \dot{y}} - \frac{d}{dx} \left(\frac{dF}{d \frac{dy^2}{dx^2}}\right) \right) = 1 - \frac{y \ddot{y}}{\left( \dot{y}\right)^2} -1$$
$$\frac{dF}{dy} = - \lambda - x \frac{\ddot{y}}{\dot{y}}$$
de modo que la ecuación diferencial es
$$ - \lambda - x \frac{\ddot{y}}{\dot{y}} + \frac{y \ddot{y}}{\left( \dot{y}\right)^2} =0$$
o
$$ \lambda \left( \dot{y}\right)^2 +( x \dot{y} -y )\ddot{y} =0$$
Si dejamos $t= \dot{y} \frac{x}{y}$ ser la adimensional derivados, a continuación, $\dot{y} = t\frac{y}{dx}, \ddot{y} = \frac{d}{dx}\left( t\frac{y}{x}\right)= \dot{t}\frac{y}{x} + t^2 \frac{y}{x^2} - t \frac{y}{x^2} =\frac{y}{x^2} \left( \frac{dt}{d\log x} +t^2-t\right)$
así que podemos escribir la ecuación (haciendo caso omiso de los factores de $y$ o $x$) como
$$ \lambda t^2 + (t-1) \left( \frac{dt}{d\log x} + t^2-t \right) =0$$
$$\frac{dt}{d \log x} = - \lambda \frac{t^2}{t-1} + t -t^2 $$
así que ya tenemos $t$ una constante de la solución de $(t^2-t)(t-1) + \lambda t^2 =0$ con $y$ un número constante de veces $x^t$ o podemos expresar $\log x$ e $\log y$ como las integrales de funciones racionales de $t$.
$$\log x = \int \frac{1}{ - \lambda \frac{t^2}{t-1} + t -t^2} dt$$
$$\log y = \int \frac{t}{ - \lambda \frac{t^2}{t-1} + t -t^2} dt$$
Matt F. en los comentarios que hicieron los integrales y se encontró que las fórmulas, mientras explícita, son bastante desagradables. Tal vez esto se puede solucionar cambiando el parámetro, pero esto parece poco probable.
Debe ser posible hacer cálculos similares para los demás tipos de segmento, pero el siguiente paso sería calcular las diferentes maneras en que estos segmentos pueden ser cosidos juntos, lo que equivale a la solución de una ecuación con la participación de ocho de estas soluciones explícitas. Que parece difícil a menos que las soluciones son realmente agradable - aunque estoy seguro de que se puede hacer con la ayuda de un adecuado sistema de álgebra computacional.
