Definición de haz de fibras en geometría algebraica

Question

Si tenemos un mapa p: X --> Y de espacios topológicos, podemos hacer una definición que exprese que el tipo topológico de las fibras de p varía continuamente (edit: mejor decir "localmente constantemente", gracias Dave) con la base: podemos decir que p es un haz de fibras.

Mi pregunta es, ¿podemos capturar esta noción algebro-geométrica, en el caso de que X e Y sean variedades sobre un campo de característica cero y p sea un mapa de variedades? Busco una definición que tenga las siguientes propiedades (pregunta al margen: ¿parecen razonables?):

1) Si X e Y están sobre los números complejos, entonces p es un haz de fibras algebraicas si y sólo si es un haz de fibras topológico sobre puntos complejos;

2) Si f: X-->Y es arbitraria entonces existe una estratificación algebraica de Y tal que sobre cada estrato f es un haz de fibras.

Los ejemplos deberían incluir mapas suaves que tengan compactaciones propias suaves para las que los divisores del límite estén en posición de cruces normales estrictos, pero preferiría que la definición no siguiera estas líneas porque, por ejemplo, no quiero necesitar la resolución de singularidades para comprobar que el mapa de estructura al campo de tierra es un haz de fibras.

Edición: En respuesta a varios comentarios, sí, otro ejemplo sería el mapa de normalización de una singularidad cuspidal. De hecho, me gustaría que la definición fuera "topológica", en el sentido de que factoriza a través de la h-sheafificación.

Edición 2: Ups, parece que he utilizado una mala terminología, lo que probablemente ha dado lugar a malas interpretaciones. Lo siento, amigos. Para arreglar las cosas, he sustituido todos los casos de "fibración" por "haz de fibras".

Se agradece cualquier idea.

Answer 1

Bien, permítanme aventurarme a dar una definición. Digamos que un morfismo $f:X\to Y$ de variedades sobre de un campo, es una fibración algebraica si existe una factorización $X\to \overline{X}\to Y$ de tal manera que el primer mapa es una inmersión abierta, y el segundo mapa es propio y existe una partición en estratos localmente cerrados de Zariski $\overline{X}=\coprod\overline{X}_i$ de tal manera que las restricciones $\overline{X}_i\to Y$ son suaves y adecuados. $X$ debe ser una unión de estratos. Quizás, también habría que insistir en que se trata de la estratificación de Whitney.

El comentario de Shenghao me ha hecho ver que mi intento original de respuesta era problemático. En lugar de intentar arreglarlo, voy a empezar de nuevo. Digamos que $f:X\to Y$ es una fibración algebraica si existe un esquema simplicial $\bar X_\bullet$ con un divisor $D_\bullet\subset \bar X_\bullet$ tal que

1. Hay un mapa $\bar X_\bullet -D_\bullet\to X$ satisfaciendo la descendencia cohomológica, en el sentido de Hodge III, para la topología clásica (sobre $\mathbb{C}$ ) o la topología etale (en general).
2. El compuesto $\bar X_n\to Y$ es suave y adecuado, y $D_n$ tiene cruces normales relativos para cada $n$ .

Estas condiciones garantizarán que $R^if_*\mathbb{Z}$ (resp. $R^if_*\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}$ ) son localmente constantes, etc.

Creo que esto también se aplicaría a la pregunta de Shenghao

Lo que sería una característica $p$ análogo para $C^{\infty}$ -¿Los paquetes de fibra?

Aunque no voy a afirmar que esto sea en ningún sentido óptimo.

Ah, y me olvidé de decir que cuando $Y=Spec k$ es un punto, cada $X$ se puede ver que es un fibrado (como debe ser) por De Jong

Answer 2

EDITAR: Esta era una respuesta a la pregunta original sobre fibraciones y no haces de fibras . En el caso de los segundos, esto es mucho menos relevante.

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No estoy seguro de lo que espera de 1) exactamente. Eso suena como una definición en sí misma.

Por otro lado, un plano El morfismo tiene muchos de los requisitos que pides. En particular, 2) se deduce de estratificación aplanada .

Para esquemas de tipo finito sobre un campo un morfismo plano con fibras geométricamente regulares y equidimensionales es suave . En ese caso, si las fibras también son compactas (y estamos sobre $\mathbb C$ ), entonces son difeomórficos, así que incluso un poco mejor de lo que querías.