Estoy interesado en conocer la amplia gama de posibilidades para la cofinality tipo de cortes en un orden de campo y en otras estructuras, como los modelos no estándar de la aritmética.
Definiciones. Específicamente, en cualquier orden lineal $\langle L,\leq\rangle$, un corte es una partición de $L=A\sqcup B$, de tal forma que cada elemento de $A$ está por debajo de cada elemento de $B$. El corte es limitada si tanto $A$ e $B$ son no vacíos. El corte se llena si no existe un punto de $a\in L$ que es estrictamente mayor que cada punto en $A$ e $\leq$ cada punto en $B$. De lo contrario, el corte es de vacantes. Un Dedekind corte es un almacén de corte para que $A$ no tiene el miembro más grande. Por lo tanto, el racional de la línea de $\langle\mathbb{Q},\leq\rangle$ ha llenado de Dedekind cortes en cada número racional y vacantes Dedekind cortes en cada número irracional. El cofinality tipo de vacantes Dedekind corte $(A,B)$ es $(\kappa,\lambda)$ donde $\kappa$ es la longitud de la menor aumento de la secuencia ilimitado en la $A$ e $\lambda$ es la longitud de la menor descendente secuencia ilimitada de abajo en $B$. Si el corte es ocupado por un punto de $a$, entonces el cofinality tipo es $(\kappa,\lambda)$ donde $\kappa$ es el menor aumento de la sucesión convergente a $a$ e $\lambda$ es la menor disminución de la secuencia convergente a $a$. Digamos que un cofinality tipo de $(\kappa,\lambda)$ es que no coinciden los si $\kappa\neq\lambda$. El cofinality de una orden es el más corto de la longitud de la secuencia ilimitada en la orden. También se podría definir la baja cofinality a ser la más corta longitud de la disminución de la secuencia ilimitada a continuación en el orden.
En un orden de campo $F$, el cofinality de cualquier llena de corte es $(\kappa,\kappa)$ donde $\kappa$ es el cofinality del campo, ya que invirtiendo un desmedido aumento de la $\kappa$-secuencia de producir un bajándolo $\kappa$-sucesión convergente a $0$. La negación de esta secuencia converge a $0$ desde abajo, y por tanto, por la traducción de cada punto de ha $\kappa$-secuencias de arriba y abajo, haciendo que todos los llena de recortes de la misma igualado cofinality tipo de $(\kappa,\kappa)$.
Pero lo de las vacantes de los recortes? Por ejemplo, en un modelo de $\mathbb{R}^\ast$ de los análisis no estándar, el estándar de la corte, determinado por la copia de $\mathbb{R}$ dentro $\mathbb{R}^\ast$, tiene menos cofinality $\omega$, dado que la norma enteros son ilimitado en la de abajo, y una simple compacidad argumento muestra que uno puede organizar que la parte superior del cofinality de este corte es que se desee regular el cardenal $\kappa$. En particular, si $\kappa$ es incontable, esta sería una de vacantes corte cuya cofinality tipo es no coinciden $(\omega,\kappa)$.
Hay un orden de campo cuyas vacantes Dedekind cortes no coinciden cofinality tipos?
Hace cambiar las cosas a considerar sólo los modelos de $\mathbb{R}^\ast$ de los análisis no estándar, donde la transferencia de principio se mantiene?
¿Qué es el espectro completo de la posibilidad de que el cofinality tipos de Dedekind recortes en el orden del campo? Sírvanse proporcionar ejemplos que ilustran el rango de lo que puede suceder o teoremas de limitación de ese rango.
¿Cuál es la situación de recortes en los modelos no estándar de PA?
No es difícil construir $\omega_1$-como los modelos de PA, que son innumerables los modelos todos de cuyos primeros segmentos son contables, y todos los delimitada cortes en un modelo de tipo $(\omega,\omega)$. También, un simple compacidad argumento puede asegurar que el estándar de la corte tiene el tipo de $(\omega,\kappa)$ para regular el cardenal $\kappa$, y también uno puede asegurarse de que el cofinality del modelo es la deseada, tal $\kappa$.
Creo que con el fin de-indiscernible elementos, uno puede organizar que el cofinality de un modelo de análisis no estándar es diferente de la parte superior cofinality de la corte estándar en ella. Es decir, parece posible que la corte estándar puede tener el tipo de $(\omega,\kappa)$, mientras que el cofinality de la modelo es el de algunos otros $\delta$. Pero no estoy seguro de cómo utilizar los métodos para el control de todas las vacantes cortes de la modelo.
La Sikorski teorema mencionado en esta respuesta por Ali Enayat parece relevante, y tal vez ese papel proporciona herramientas para responder algunas de las preguntas. Ese teorema proporciona ordenó campos de tamaño y cofinality $\kappa$, con la propiedad de que todos los $(\kappa,\lambda)$ o $(\lambda,\kappa)$ corte está llena, por cualquier $\lambda$.
Mi motivación para hacer la pregunta es proporcionar una mejor versión de este MO pregunta. Una respuesta positiva a la pregunta 1 supra se iba a producir un orden de campo que no está completa, pero que, sin embargo, exhibe el anidado de propiedad interval (todos descendente transfinito secuencias de cerrado delimitado intervalos tienen intersección no vacía). El punto es que si las vacantes cortes no coinciden cofinalities, entonces cualquier descendente de la secuencia de intervalos cerrados a caballo entre la corte tendrá sus extremos, de estabilizar en un lado o en el otro, y, por consiguiente, tiene intersección no vacía. Pero tal vez esto es simplemente demasiado de la esperanza de!
