Categorification de los números enteros

Question

Me gustaría saber natural categorification de los rig de los números enteros $\mathbb{Z}$. Este debe ser un $2$-rig. Entre las diversas nociones de 2-plataformas, es obvio que tenemos que excluir a aquellos donde la $+$ es un subproducto (ya que de lo contrario $a+b \cong 0 \Rightarrow a \cong b \cong 0$). Así que vamos a tomar aparejo de las categorías de lugar.

Pregunta. Lo que es natural y no discretas rig categoría cuyo aparejo de clases de isomorfismo es $\mathbb{Z}$?

He leído MO/3476, pero las respuestas no son realmente satisfactorias. Tanto la categoría de los enredos y Schnauel categorías de los poliedros no califican.

Aquí está mi enfoque. Observe que $\mathbb{N}$ es la inicial de la plataforma, por lo que su categorification debe ser la inicial de aparejo de la categoría, que resulta ser el groupoid finito de conjuntos y bijections, que es equivalente a la permutación groupoid $\mathbb{P}$. El aparejo $\mathbb{Z}$ es el rig en un generador de $x$ sujeto a las relaciones de los $x^2=1$ e $x+1=0$. Para abreviar, $\mathbb{Z} = \mathbb{N}[x]/(x^2=1,x+1=0)$. Esto sugiere que nuestro categorification es $\mathbb{P}[X]/(X^2 \cong 1,X+1 \cong 0)$, donde estos isomorphisms probablemente debería satisfacer cierta coherencia condición (que no son visibles en el decategorification $\mathbb{Z}$) para "aplanar" la plataforma de la categoría. Es decir, si $e : X^2 \to 1$ e $f : X+1 \to 0$ son los isomorphisms, podríamos requerir (aquí omito la coherencia isomorphisms de la plataforma de la categoría) que $eX = Xe : X^3 \to X$ e $fX = Xf =f \circ (e+X): X^2+X \to 0$.

Creo que el $\mathbb{P}[X,X^{-1}]$ debe ser la plataforma de la categoría de vector de bultos en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_0}$ donde $\mathbb{F}_0$ es el "campo con ningún elemento", en el sentido de Durov. Aquí, la Serre twist $\mathcal{O}(1)$ no es inversa a la itsself, pero esto cambia cuando consideramos la cinta de Moebius $H$ a $S^1$. Pero el vector de paquetes en la topología tiene demasiado morfismos. Por la misma razón que no se puede tomar a $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$.

Pregunta. ¿Qué es un natural de realización de la plataforma de la categoría $\mathbb{P}[X]/(X^2 \cong 1,X+1 \cong 0)$?

Answer 1

Definitivamente debe ser mencionado aquí, que se usan a menudo categorification de los números enteros es la esfera del espectro, $\mathbb S$, es decir, el bucle infinito espacio de $\mathbb S = \varinjlim \Omega^n S^n$. He oído esta idea atribuida a Waldhausen. Hay una divertida exposición en TWF 102 por Juan Báez.

La idea es pensar en $\mathbb Z$ es el (aditivo) grupo de finalización de la plataforma de la $\mathbb N$, y a categorify el grupo el proceso de terminación. Natural categorification de la plataforma de la $\mathbb N$ es el 2-rig $\mathsf{FinBij}$ finito de conjuntos y bijections, con $\times$ distribución de más de $\amalg$. Así que el grupo complete $\mathsf{FinBij}$ la $\amalg$ part. La cosa es que, en lugar de crear una 1-groupoid con dos monoidal estructuras y apropiado de la universal de los bienes, es más natural considerar a $\mathsf{FinBij}$ como $\infty$-groupoid con dos monoidal estructuras, y a la construcción de un grupo de finalización en el mundo de la $\infty$-groupoids. Pero por el homotopy hipótesis, una $\infty$-groupoid es la misma cosa como un espacio. Así que terminamos con un espacio que tiene dos monoidal estructuras, una distribución sobre el otro. El "aditivo" monoidal estructura es apropiada conmutativa, por lo que esta estructura puede considerarse como la estructura de un bucle infinito espacio, también conocido como un conectivo espectro. Y el multiplicativo estructura lo convierte en un "multiplicativo bucle infinito espacio", también conocido como anillo de espectro.

Tenga en cuenta que $\pi_0(\mathbb S) = \mathbb Z$, por lo que este es un categorification en el sentido más básico.