Se puede saber si un espacio de Banach de la unidad de la bola?

Question

Deje $V$ ser un verdadero espacio vectorial. Es bien sabido que un subconjunto $B\subset V$ es la unidad de la bola para algunos norma en $V$ si y sólo si $B$ satisface las siguientes condiciones:

1. $B$ es convexa, es decir, si $v,w\in B$ e $\lambda\in[0,1]$ entonces $\lambda v+(1-\lambda)w \in B$.

2. $B$ es equilibrada, es decir, $\lambda B \subset B$ para todos los $\lambda \in [-1,1]$.

3. $\displaystyle\bigcup_{\lambda > 0} \lambda B = V$ e $\displaystyle\bigcap_{\lambda>0} \lambda B = \{0\}$.

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma sencilla de determinar de $B$ si la resultante de la norma en $V$ será completa? Tenga en cuenta que $V$ aún no tiene una topología.

Edit: supongo que la palabra "simple" es un poco engañoso. Lo que estoy buscando es alguna geométrica de una idea de cómo la forma de $B$ afecta si el resultado es un espacio de Banach. Al $V$ es finito dimensionales, todos los conjuntos de $B$ que cumpla con las condiciones (1) - (3) dar el equivalente de las normas, de modo que todos los $B$'s de alguna manera son aproximadamente de la misma forma. ¿De qué manera las formas varían al $V$ es de dimensiones infinitas, y cómo esto afecta a la integridad de la resultante de la norma?

Answer 1

No sé si esto cuenta como "simple". Pero $V$ es de Banach si y sólo si, cada vez que $(x_n)$ es una secuencia en $B$, e $\sum_n \|x_n\|<1$,, a continuación, $\sum_n x_n$ converge en $V$ (y necesariamente a algo en $B$). Ahora, usted puede frase esta convergencia puramente en términos de $B$. Usted necesidad de que no es $x\in B$ tal que, para todos los $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $\epsilon^{-1}(x - \sum_{n=1}^N x_n) \in B$.

Que no parece super sencillo para mí.

Answer 2

Suficiente (adicional) condición es que $B$ ser compacto para algunos Hausdorff vector de topología para $V$. La prueba es como sigue.

Dejando $\langle x_i\rangle$ ser una secuencia de Cauchy, es en algunas de las $nB$, por lo que tiene algunos de racimo punto de $y$ no. Dado $\varepsilon>0$, no es $i_0$ tal que $x_i-x_j\in\frac 12\varepsilon B$ para $i,j\ge i_0$ , y queda por demostrar que $x_{i_0}-y\in\frac 12\varepsilon B$ . De hecho, si esto no se sostiene, tenemos $y\not\in x_{i_0}-\frac 12\varepsilon B$ . Desde $B$ es compacta, es cerrado en el Hausdorff caso, y así es $x_{i_0}-\frac 12\varepsilon B$ como un vector de la topología. Por el clúster de propiedad de punto, debe haber alguna $i\ge i_0$ con $x_i\not\in x_{i_0}-\frac 12\varepsilon B$ , lo cual es imposible.

Edit. En realidad, originalmente yo tenía en mente una condición más general, pero no pude correctamente recordar que al escribir la respuesta. Es decir, una condición suficiente es que hay que ser un topológico de Hausdorff espacio vectorial $E$ y no hay absolutamente convexo compacto $C$ y un lineal mapa de $\ell:V\to E$ con $B=\ell^{-1}[C]$ , y de tal manera que tenemos $y\in{\rm rng\ }\ell$ siempre $y\in E$ es tal que $(y+\varepsilon C)\cap({\rm rng\ }\ell)\not=\emptyset$ para todos los $\varepsilon>0$ . La prueba es esencialmente la misma que la dada anteriormente con $C$ en lugar de $B$ . Esta condición más general, se aplica por ejemplo en el caso de que $B$ es la bola unidad cerrada de $C^k([0,1])$ ya que podemos tomar $E=({\mathbb R}^{[0,1]})^{k+1}$ e $C=([-1,1]^{[0,1]})^{k+1}$ e $\ell$ dado por $y\mapsto\langle y,y',y'',\ldots y^{(k)}\rangle$ .

II Edición. La condición suficiente, me dio el de arriba es de "extrínseca de la naturaleza", y, como tal, probablemente no en el espíritu solicitado en la pregunta original. Un "intrínseca" de la condición, que es (probablemente) "simple", y en la línea ya se ha sugerido anteriormente en la primera respuesta, y en los comentarios, es que para cualquier secuencia $\langle x_i:i\in\mathbb N_0\rangle$ en $V$ satisfacción $\lbrace 2^{i+2}(x_i-x_{i+1}):i\in\mathbb N_0\rbrace\subseteq B$ , no ser $x\in V$ con $\lbrace 2^i(x_i-x):i\in\mathbb N_0\rbrace\subseteq B$ .

Sin embargo, obviamente, esto no es muy práctico para ser verificados en situaciones concretas. Basando en mi experiencia y la intuición, me suele decir que "extrínseca" condiciones probablemente son más convenientes que los "intrínseca" queridos. Entonces, creo que la pregunta es buena, pero la restricción puesto allí en la dirección de búsqueda de la respuesta es incorrecta. En la práctica, cuando uno construye (posibles nuevos) los espacios de Banach, a menudo hay algunos que rodea "mayor" espacio vectorial topológico donde los nuevos espacios será inyectado continuamente. En vista de esto, es natural que se busque extrínseca condiciones.

Answer 3

Unidad de bolas, precisamente, con la propiedad que usted está buscando se han estudiado en una extraña nombre de completant (presumiblemente directamente del francés) en el libro sobre las aplicaciones de la bornologies para el análisis funcional Hogbe-Nlend. Creo que el único resultado de cualquier sustancia que va a encontrar es una variante de Grothendieck integridad del teorema que se puede encontrar allí. Uno supone que la pelota es cerrado, acotado conjunto en un ambiente topológico, espacio vectorial, la cual se completa. Este, entre otros, proporciona lo que es probablemente el más simple y más transparente de la prueba de la integridad de la $ \ell^p$ e $L^p $-espacios.

Por la forma en que la clase de los espacios de Bill Johnson respuesta también ha sido investigado. Fueron presentados por Waelbroeck y llamó Waelbroeck espacios por Buchwalter. Se forma una representación concreta de la categoría opuesta a la de los espacios de Banach---ver Cigler-Losert-Michor en functors en las categorías de los espacios de Banach (disponible online). Un buen ejemplo de su uso es en la caracterización de von Neumann algebas como $ C^*$ álgebras de que, como los espacios de Banach, se Waelbroeck. Este givea un útil puntero sobre cómo se forman los límites en la categoría de álgebras de von Neumann.