Suficiente (adicional) condición es que B ser compacto para algunos Hausdorff vector de topología para V. La prueba es como sigue.
Dejando ⟨xi⟩ ser una secuencia de Cauchy, es en algunas de las nB, por lo que tiene algunos de racimo punto de y no. Dado ε>0, no es i0 tal que xi−xj∈12εB para i,j≥i0 , y queda por demostrar que xi0−y∈12εB . De hecho, si esto no se sostiene, tenemos y∉xi0−12εB . Desde B es compacta, es cerrado en el Hausdorff caso, y así es xi0−12εB como un vector de la topología. Por el clúster de propiedad de punto, debe haber alguna i≥i0 con xi∉xi0−12εB , lo cual es imposible.
Edit. En realidad, originalmente yo tenía en mente una condición más general, pero no pude correctamente recordar que al escribir la respuesta. Es decir, una condición suficiente es que hay que ser un topológico de Hausdorff espacio vectorial E y no hay absolutamente convexo compacto C y un lineal mapa de ℓ:V→E con B=ℓ−1[C] , y de tal manera que tenemos y∈rng ℓ siempre y∈E es tal que (y+εC)∩(rng ℓ)≠∅ para todos los ε>0 . La prueba es esencialmente la misma que la dada anteriormente con C en lugar de B . Esta condición más general, se aplica por ejemplo en el caso de que B es la bola unidad cerrada de Ck([0,1]) ya que podemos tomar E=(R[0,1])k+1 e C=([−1,1][0,1])k+1 e ℓ dado por y↦⟨y,y′,y′′,…y(k)⟩ .
II Edición. La condición suficiente, me dio el de arriba es de "extrínseca de la naturaleza", y, como tal, probablemente no en el espíritu solicitado en la pregunta original. Un "intrínseca" de la condición, que es (probablemente) "simple", y en la línea ya se ha sugerido anteriormente en la primera respuesta, y en los comentarios, es que para cualquier secuencia ⟨xi:i∈N0⟩ en V satisfacción {2i+2(xi−xi+1):i∈N0}⊆B , no ser x∈V con {2i(xi−x):i∈N0}⊆B .
Sin embargo, obviamente, esto no es muy práctico para ser verificados en situaciones concretas. Basando en mi experiencia y la intuición, me suele decir que "extrínseca" condiciones probablemente son más convenientes que los "intrínseca" queridos. Entonces, creo que la pregunta es buena, pero la restricción puesto allí en la dirección de búsqueda de la respuesta es incorrecta. En la práctica, cuando uno construye (posibles nuevos) los espacios de Banach, a menudo hay algunos que rodea "mayor" espacio vectorial topológico donde los nuevos espacios será inyectado continuamente. En vista de esto, es natural que se busque extrínseca condiciones.