Esta es una pregunta interesante. No creo que nadie lo ha funcionado lo de la distribución del término de error
$$\frac{E(x)}{x} = \frac{1}{x}\left(\sum_{n \leq x}{\phi(n)} - \frac{3x^2}{\pi^2}\right)$$
en realidad se ve como en cualquier sentido útil; por lo que he podido averiguar, parece ser esencialmente la misma que la distribución de
$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{\mu(n)}{n} \left\{\frac{x}{n}\right\}}$$
donde $\mu(n)$ es la función de Möbius y $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$, pero esto en realidad no parecen decir nada particularmente útil.
Sin embargo, ciertamente se sabe que $E(x)/x$ tiene una función de distribución; esto está demostrado en la p.13 de "Sobre la Existencia de la Limitación de la distribución de Algunas de Número de la teoría de los Términos de Error" por Yuk-Kam Lau. Esto también se deduce muy fácilmente desde el hecho de que
$$\frac{E(x)}{x} = H(x) + O\left((\log x)^{-4}\right)$$
donde
$$H(x) = \sum_{n \leq x}{\frac{\phi(n)}{n}} - \frac{6 x}{\pi^2}$$
combinado con el principal resultado de la ponencia "La Existencia de una Función de Distribución para un Término de Error Relacionados con la Función de Euler" por Erdős y Shapiro. Lo que es más conocido es el comportamiento promedio de $E(x)$, en la forma de la asymptotics
$$\sum_{n \leq x}{E(x)} \sim \frac{3 x^2}{2 \pi^2}$$
y
$$\int^{x}_{0}{E(t)^2 dt} \sim \frac{x^3}{6 \pi^2}.$$
Probablemente, la mejor referencia de lo que se sabe actualmente acerca de este término de error es el papel de "Oscilaciones del resto término relacionado con el de Euler totient función" por Kaczorowski y Wiertelak (pero, por desgracia este papel no disponible gratuitamente en internet).
EDIT: Muy recientemente, Lemke Oliver y Soundararajan tienen super aprobada la existencia de la limitación de la distribución de $E(x)/x$, así como los límites cuantitativos de las colas de esta distribución; véase el Teorema 1.3 de su papel.
