Como tengo entendido, tanto de la Diophantine ecuaciones $$a^5 + b^5 = c^5 + d^5$$ y $$a^6 + b^6 = c^6 + d^6$$ no tienen conocidos soluciones no triviales, pero $$24^5 + 28^5 + 67^5 = 3^5+64^5+62^5$$ y $$3^6+19^6+22^6 = 10^6+15^6+23^6$$ entre otras muchas soluciones se conocen, cuando el número de sumandos es el aumento de la de $2$ a $3$. Mi información es de al menos una década fuera de fecha, y me pregunto si la resolución del Último Teorema de Fermat ha aclarado esta situación, con respecto a las sumas de un número igual de poderes...?
Respuestas
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La respuesta corta a tu pregunta específica es no, la resolución de FLT a través de la modularidad de curvas elípticas no parece ser útil en el trato con los puntos racionales en las dimensiones superiores variedades. Las dos primeras ecuaciones de la lista, $a^5+b^5=c^5+d^5$ e $a^6+b^6=c^6+d^6$, son superficies de tipo general en $\mathbb{P}^3$, por lo que las conjeturas de Bombieri, Lang, Vojta, diría que con sus soluciones, y las soluciones de ecuaciones similares en los que los términos no tienen unidad de coeficientes, se encuentran en un número finito de curvas. El segundo de dos ecuaciones son de 4 pliegues en $\mathbb{P}^5$. Para $x^5+y^5+z^5=u^5+v^5+w^5$, la canónica paquete es amplio, y voy a suponer que las 4 veces que es racional(?), así que habrá un montón de soluciones. Para $x^6+y^6+z^6=u^6+v^6+w^6$, la canónica paquete es trivial, así que tenemos un Calabi-Yau. Al menos conjecturally, debe haber un campo de número de $K$ de manera tal que el $K$-racional puntos de Zariski densa. Tal vez por esto 4 veces, uno puede tomar la $K=\mathbb{Q}$?
user208322
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Etiqueta de la ecuación,
$$x_1^k+x_2^k+\dots+x_m^k = y_1^k+y_2^k+\dots+y_n^k$$
como un $(k,m,n)$. Deje que el tipo de primitiva de soluciones polinomio de identidad $P(n)$ o de curva elíptica $E$. A continuación, los resultados (en su mayoría) para el equilibrado caso de $m=n$ son,
I. La Tabla 1 $$\begin{array}{|c|c|c|} (k,m,n)& \text{# of known solutions}& \text{Type}\\ 3,2,2& \infty&P(n)\\ 4,2,2& \infty&P(n),E\\ 5,3,3& \infty&P(n),E\\ 6,3,3& \infty&P(n),E\\ 7,4,4& \text{many} &E\,?\\ 7,4,5& \infty&P(n)+E\\ 8,4,4& 1&-\\ 9,5,5& \text{many}&-\\ 9,6,6& \infty & E\\ 10,5,5& 0&-\\ \end{array}$$
Nota: Para $(7,4,5)$, ver este MSE respuesta.
II. Tabla 2. (Para multi-grados) $$\begin{array}{|c|c|c|} (k,m,n)& \text{# of known solutions}&\text{Type}\\ 5,4,4& \infty&P(n),E\\ 6,4,4& \infty&P(n),E\\ 7,5,5& \infty&P(n),E\\ 8,5,5& \infty&E\\ 9,6,6& \text{many}&E\,?\\ 10,6,6& \infty&E\\ 11,7,7& 0&-\\ 12,7,7& 0&-\\ \end{array}$$
Nota: Un multi-grado es simultáneamente válidas para múltiples $k$. Por ejemplo, el $(9,6,6)$ es de $k=1,3,5,7,9$, mientras que el $(10,6,6)$ es de $k=2,4,6,8,10$.
