Cómo entender Chern-Simons acción

Question

Hola a todos. La pregunta que tengo debe ser bastante simple, pero yo no puedo pensar que a través de ella.

Así que el Chern-Simons acción de lee \begin{equation} S = \int_M {\rm tr} (A\wedge dA + \frac{2}{3} A\wedge A \wedge A) \end{equation} donde $M$ es 3 veces, y de manera similar para las dimensiones superiores del colector.

Ahora, mi pregunta es:

*ya $A$, de la conexión 1-formulario sólo está definida parche por parche, ¿a qué nos referimos realmente haciendo la integración? *

Sería comprensible si escribo \begin{equation} S = \int_M {\rm tr} \left[(A-A_0)\wedge d(A-A_0) + \frac{2}{3} (A-A_0)\wedge (A-A_0) \wedge (A-A_0)) \right ] \end{equation} donde $A_0$ es alguna referencia de conexión, ya que $A-A_0$ es definido globalmente 1-formulario valorado en ${\rm Lie}G$.

Veo que bajo calibre transformación (o de gráfico diferente), \begin{equation} CS(A^g) - CS(A) = d\alpha(A,g) + Q(g) \end{equation} donde $Q(g)$ es cerrado. Pero no sé cómo me puede inferir la validez de hacer la integración de este calibre transformación.

Gracias!

Answer 1

A menudo en la literatura por "Chern-Simons teoría" se entiende por defecto en $G$-Chern-Simons teoría cuyo grupo gauge está conectado y simplemente se conecta semisimple grupo compacto $G$, como $G = SU$. En este caso lo que ocurre es que todos los $G$-director de paquetes en un 3-colector $\Sigma_3$ son trivializable, y por lo tanto uno puede identificar el espacio de la G-principales conexiones en $\Sigma_3$ sólo con la de $\mathfrak{g}$valores de formas diferenciales. Así que uno sale con el ingenuo fórmula que recordar arriba.

En contraste a esto es lo que puede parecer ser un ejemplo más simple, a saber, $U(1)$- Chern-Simons teoría. Desde $U(1)$ no es simplemente conexa, claramente, hay, por supuesto, no trivial $U(1)$-director de paquetes en $\Sigma_3$, en general, y por lo tanto el anterior enfoque ingenuo falla, como se observa.

En este caso la correcta Chern-Simons acción en lugar obtenido de esta manera: dada una configuración del campo de $\nabla$ que es un círculo principal de conexión, podemos formar su diferencial de la copa-producto de la plaza en diferenciales ordinarias cohomology. Esto produce un $\mathbf{B}^2 U(1)$-principal 3-conexión de $\nabla \cup \nabla$, a menudo conocido como un paquete de 2 gerbe con conexión o bien como un grado 4 cocycle en Deligne cohomology. Esto ahora tiene una conexión de 3-forma y por lo tanto tiene un volumen holonomy más de $\Sigma_3$. Y esto ahora es la acción correcta funcional de Chern-Simons teoría. Para más sobre esto, vea en nLab:dimensiones superiores de Chern-Simons teoría.

Secretamente este aumento en la principal estructura de conexión también gobierna el primero, aparentemente más simple caso. La acción funcional de Chern-Simons teoría es siempre el volumen holonomy de un 3-conexión, el Chern-Simons círculo de 3 conexión.

Este es, de hecho, el general resumen de la caracterización de Chern-Simons teorías y todos los de su mayor (y menor) dimensiones variantes. Una de Chern-Simons-tipo de acción funcional es siempre el volumen holonomy de un refinamiento de una característica universal de la clase a diferenciales ordinarias cohomology. Comentarios adicionales a lo largo de estas líneas son, por ejemplo, en

Domenico Fiorenza, Hisham Sati, Urs Schreiber, Un mayor stacky perspectiva de Chern-Simons teoría.

Answer 2

Aquí es un mediados de la década de 1970 punto de vista, cortesía de Atiyah-Patodi-Cantante.

Supongamos que tenemos un vector complejo paquete de $E$ de la fila $r$ a través de una suave colector $M$. Una función polinómica $P$ en el espacio de $r\times r$ matrices se llama invariante si $P(T AT^{-1})=P(A)$ cualquier $r\times r$ matriz compleja $A$ y cualquier invertible $r\times r$ matriz $T$. Si usted mira en

$$ \Delta(x)=\det(1+ xA)=\sum_{k=0}^r c_k(A) x^k, $$

a continuación, el coeficiente de $c_k(A)$ es homogénea invariante de la función polinómica de grado $k$. Por ejemplo

$$c_1(A)={\rm tr}\; A,\;\;c_r(A)=\det A. $$

Para una conexión de $\nabla$ a $E$ con curvatura $F(\nabla)$, podemos asociar el grado $2k$ formulario $E$

$$ c_k(\nabla) = c_k\bigl(\; F(\nabla)\;\bigr), $$

donde en la anterior igualdad se piensa en $F(\nabla)$ como $r\times r$-matriz cuyas entradas son $2$-formas. Por ejemplo

$$ c_1(\nabla)= {\rm tr}\; F(\nabla)= F_{11}(\nabla)+\cdots +F_{rr}(\nabla). $$

Chern-Weil teoría demuestra dos cosas:

• La forma $c_k(\nabla)$ es cerrado.

• Si $\nabla^1$, $\nabla^0$ son dos conexiones en $E$, entonces existe una forma canónica de grado $(2k-1)$, llama la transgresión formulario y se denota por $Tc_k(\nabla^1,\nabla^0)$, que satisface

$$ d Tc_k(\nabla^1, \nabla^0)= c_k(\nabla^1)-c_k(\nabla^0). $$

En otras palabras, la cohomology de la clase determinada por $c_k(\nabla)$ es independiente de $\nabla$. Este cohomology de la clase es el $k$-ésima clase de Chern de $E$.

Supongamos ahora que $\dim M= 2k-1$. A continuación, en la cuenta de la dimensión, $c_k(\nabla)=0$, sin embargo, $Tc_k(\nabla^1,\nabla^0)$ es un grado superior de forma bien definida para cualquier elección de $\nabla^0,\nabla^1$.

Supongamos, además, que $E$ es trivial y hemos fijado una trivialización. Podemos optar $\nabla^0$ a ser el trivial de conexión en $E$ y, a continuación, establecemos

$$ CS_k(\nabla):= Tc_k(\nabla,\nabla^0). $$

La costumbre de Chern-Simmons teoría es un caso especial de esta construcción al $k=2$, es decir, $E$ es un trivial de vector complejo paquete de rango $r\geq 2$ a través de una $3$-colector.