Yo creo, porque en la categoría de esquemas, todos los límites finitos de existir, la conmutativa grupo los objetos con homomorphisms debe formar un abelian categoría. ¿Es esto cierto? Y ¿sabe usted en cualquier lugar para citar este?
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DavLink
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La categoría de conmutativa afín algebraicas grupo de esquemas sobre cualquier campo es abelian. Más en general, el estándar de los teoremas de isomorfismo en abstracto de la teoría de grupo mantenga en la categoría de afín algebraicas grupo de los esquemas de más de un campo. Véase, por ejemplo, Chapt 1 de línea de mis notas. Sobre otras bases, esto no tiene que ser verdadero. Si eres lo suficientemente tonto como para el trabajo con la reducción de la algebraicas grupo de esquemas (Borel, Humphreys, Springer, et al), a continuación, ejecutar en todo tipo de problemas.
Añadido: En 1962, Cartier dio una charla de la conferencia en la que señaló que el estándar de los teoremas de isomorfismo etc. fallar con la definición habitual de los algebraica de los grupos (no nilpotents), pero luego observó que el "anterior dificultades desaparecen" cuando uno trabaja con esquemas. Hasta donde yo sé, esta es la primera declaración en la impresión. Es, por supuesto, todos los cubiertos en la 1963-64 Grothendieck-Demazure seminario (SGA3).
Sobre bases arbitrarias, usted todavía puede formar núcleos, pero los cocientes son un problema debido a que el subgrupo no necesita ser plana. Como se señaló, también hay problemas cuando se le cae la condición de "afín y finito de tipo".
Cuando no permitir nilpotents (es decir, cuando se trabaja en la categoría de grupo reducido esquemas), el Frobenius mapa de $\mathbb{A}^1\to \mathbb{A}^1$ (este es un homomorphism al $\mathbb{A}^1$ es considerado como el aditivo esquema de grupo) es mono y epi, pero no un isomorfismo (no invertido). En el pleno de la categoría de afín algebraicas grupo de esquemas, tiene un núcleo, es decir, el finito esquema de grupo $\alpha_p$, así que no hay problema.
Niyaz
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16307
Esto no es cierto.
Se produce, esencialmente, la misma razón por la que la categoría de topológico conmutativa grupos de dejar de ser una abelian categoría. Por simplicidad, vamos a trabajar sobre un algebraicamente cerrado campo k. Considere la posibilidad de que el aditivo grupo k, cuyo esquema subyacente es afín a la línea de $\mathbb{A}^1 = Spec \; k[x]$. También considere el esquema de X, que es distinto de la unión de los puntos de $Spec \; k$, donde la inconexión de la unión es sobre todos los puntos en $\mathbb{A}^1$.
Hay un canónica mapa de $X \to \mathbb{A}^1$ y esto induce una estructura de grupo en X, lo que es un esquema de grupo así. El núcleo y cokernel de este mapa son ambos cero, pero es evidente que no es un isomorfismo.
Tenga en cuenta que X es no un afín esquema, por lo que esto no contradice Milne respuesta.
eriko
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Esto no es cierto.
El Frobenius homomorphism $(Spec(\mathbb{F}_p[x]),+) \to (Spec(\mathbb{F}_p[x]),+)$ que envía a $x$ a $x^p$ tiene un trivial cokernel. Sin embargo, no es un isomorfismo.
Edit: Ah! Ahora comprendo mi error: está bien no isomorphisms con trivial núcleos.
Debo haber gastado demasiado tiempo pensando en nidos categorías: en un triangular de la categoría, un mapa con trivial cofiber es automotically un isomorfismo.
Herms
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Motti
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no debe ser cierto! ¿Cuál es la cokernel del mapa $\mathbb{Z}\rightarrow A$ con $A$ un abelian variedad y $\mathbb{Z}$ la constante esquema de grupo, representado por el anillo de los números enteros? Pero si consideramos sólo conmutativa algebraicas esquema de grupo sobre un campo $k$(es decir, finito de tipo más de $k$), entonces debe ser abelian.
