¿Por qué no es necesario que los mapas no ramificados sean localmente de presentación finita?

Question

He leído y oído varias veces que es "importante" que no se exija que los mapas no codificados sean localmente de finitos presentación pero sólo localmente de tipo .

Aparte de este problema con unramified siempre he preferido "localmente de finito presentación "ya que parece ser conceptual y moralmente mejor que "localmente de finito tipo ". También tiene mejores propiedades categóricas. En el caso noetheriano coinciden, pero fuera del mundo noetheriano me parece que "localmente de finito presentación " es la noción natural, y "localmente de finito tipo " es una definición a la que sólo le falta una condición.

Sin embargo, por alguna razón los mapas no codificados deben ser una excepción.

EGA define los mapas no ramificados como mapas formalmente no ramificados y localmente finitos. presentación (como es el caso de étale y smooth). Pero Raynaud se aparta de esta definición en su libro "Anillos henselianos locales". . Él sólo requiere localmente de finito tipo .

Johan de Jong escribe en su blog Stacks Project { 1 }:

Sólo en un caso hasta ahora he cambiado la definición: concretamente David Rydh me convenció de que deberíamos cambiar unramificado por la noción utilizada en el libro de Raynaud sobre anillos henselianos (es decir, sólo requerir localmente de tipo finito y no requerir localmente de presentación finita).

Pregunta: ¿Cuál es la justificación de esta definición? ¿Hay alguna explicación conceptual de por qué es la definición "correcta"? ¿Existen teoremas importantes que serían falsos de otro modo, o cuya afirmación o demostración resultaría miserable?

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{1}: http://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=1049

Answer 1

Varias personas han impuesto la presentación finita en lugar del tipo finito: sobre todo Grothendieck para unramificados y Demazure-Gabriel para mapas propios. Ambos casos parecen haber sido motivados por la sencilla caracterización functorial de localmente de presentación finita. Sin embargo, yo argumentaría que la presentación finita, en oposición al tipo finito, no es la elección más natural para inmersiones y morfismos no ramificados, propios, finitos, cuasi finitos, proyectivos y cuasi proyectivos. Permítanme intentar motivar esto:

La diferencia entre tipo finito y presentación finita surge cuando se toma la imagen de un mapa entre módulos/álgebras de presentación finita. Por esta razón sería antinatural exigir que las inmersiones cerradas (suryecciones) sean de presentación finita, por ejemplo, la imagen esquemática de un morfismo $X\to Y$ entre esquemas finitamente presentados es una inmersión cerrada $Z\hookrightarrow Y$ que no necesita estar finitamente presentada. Dado que es natural incluir inmersiones cerradas entre morfismos finitos y propios, esto motiva la inclusión de mapas de tipo finito.

Otras construcciones que implican morfismos finitos y propios también dan lugar a morfismos de tipo finito (también para morfismos cuasi finitos, etc.):

1. Si se infla un esquema en un ideal finitamente generado, se obtiene un morfismo propio de tipo finito pero no es de presentación finita aunque el ideal sea finitamente presentado.
2. Las uniones de extensiones finitas de anillos son finitas (pero no es necesario conservar la presentación finita).

Otra fuente natural de morfismos (localmente) de tipo finito que no son (localmente) de presentación finita es la diagonal de cualquier morfismo.

Una razón quizás más convincente es que todos los resultados importantes se mantienen para morfismos de tipo finito, incluyendo:

1. Los morfismos proyectivos son universalmente cerrados.
2. Los morfismos cuasi finitos factorizan como una inmersión abierta seguida de un morfismo finito.
3. Propio + cuasi-finito = finito.

Cuando se trata de morfismos no ramificados, se obtienen varios buenos resultados que también son válidos para morfismos de tipo finito:

1. Descripción de monomorfismos, localmente de tipo finito, en términos de fibras.
2. Descripción de morfismos no ramificados, en términos de fibras.
3. Descripción de morfismos unramificados, en términos de desaparición de diferenciales de Kähler.
4. Descripción de morfismos unramificados como poseedores de una diagonal étale (para mapas entre esquemas: una inmersión abierta).
5. Descripción de morfismos unramificados como siendo étale-localmente una inmersión cerrada.
6. Descripción de morfismos unramificados como factorización canónica como una inmersión cerrada seguida de un morfismo étale.

Sin embargo, todos estos resultados fallan si eliminamos el "tipo finito". Para morfismos étale, sin embargo, es necesario asumir presentación finita y no sólo tipo finito para obtener una noción bien comportado.

Un morfismo de tipo finito $f$ (sobre un esquema cuasi compacto y cuasi separado) factores como una inmersión cerrada $i$ seguido de un morfismo finitamente presentado $g$ . Además, si $f$ es finito, propio, cuasi finito, etc., podemos suponer que $g$ también lo es. Así pues, la diferencia entre tipo finito y presentación finita se capta mediante inmersiones cerradas.

Permítanme mencionar también que ni el tipo finito ni la presentación finita se comportan tan bien como el tipo finito en el caso noetheriano. Por ejemplo, ni los módulos finitamente generados ni los finitamente presentados dan categorías abelianas. Los módulos coherentes y los complejos pseudocoherentes son otras variantes que tienen sus inconvenientes y ventajas. Por ejemplo, en la dualidad de Grothendieck, ni la presentación propia ni la finita sirven. También hay situaciones en las que la presentación finita y las inmersiones nulas arbitrarias son adecuadas (lo que he llamado "tipo finito construible").

Por último, también hay algunas situaciones en las que basta con nociones más débiles que la de tipo finito. En cohomología étale, el cambio de base propio se mantiene después de debilitar el tipo finito (cualquier homeomorfismo universal induce una equivalencia de topoi étale). La semicontinuidad superior de Chevalley de la dimensión de la fibra es válida para cualquier morfismo universal cerrado, separado y cuasicompacto.