Lineal de los grupos que no son lineales sobre los enteros

Question

¿Cuáles son las fuentes de finitely generadas $\mathbb C$-lineal de los grupos que no son $\mathbb Z$-lineal?

Recordemos que un grupo es $R$-lineal si es isomorfo a un subgrupo de $GL(n,R)$ para algunos $n$ donde $R$ es un anillo.

Sólo sé una cosa: cualquier solucionable $\mathbb Z$-lineal grupo es policíclicos. Por ejemplo, el Baumslag-Solitar grupo $B(1,2)$ es solucionable, $\mathbb C$-lineal, y contiene diádica racionales, y por lo tanto, no es policíclicos (abelian subgrupos de policíclicos grupos finitely generado).

Mi motivación personal para que la pregunta es un intento de digerir las recientes aplicaciones de virtual Haken conjetura lo que implica que muchos de los $3$-colector de grupos se $\mathbb Z$-lineal.

Answer 1

Usted puede utilizar Margulis' super-teorema de rigidez en $S$-aritmética de los grupos de decir, por ejemplo, que el grupo $SL_n(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}])$ nunca $\mathbb{Z}$-lineal.

Answer 2

Es tal vez un estúpido obstáculo, pero lo que no considerar la torsión de los elementos? Por ejemplo, usted puede tener orden arbitrario de torsión de los elementos en los subgrupos de $SL(2,\mathbb{R})$, mientras que el finito pedidos de elementos de $SL(2,\mathbb{Z})$ no exceda de 6.

Por cierto, ¿quieres que tu grupo sea una discreta uno, o es puramente algebraica pregunta?