¿Cuáles son algunos hechos interesantes y fáciles de entender (para los no geómetras diferenciales) sobre los subobjetos de $\mathbb{R}^4$ que no sólo son falsas en $\mathbb{R}^3$ pero también es específico de la estructura de $\mathbb{R}^4$ y tal vez no se generalicen fácilmente o de forma natural a dimensiones superiores?
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Thomas
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Debido a la teoría de los cuaterniones, debida a Hamilton, $\bf R^4$ tiene una estructura de a de campo no conmutativo. La única dimensión para la que $\bf R^n$ es un campo son $n=1,2, 4$ . Como aplicación, el grupo ortogonal especial en dimensión 4 no es simple : es el cociente de $U\times U$ por it center $Z/2Z$ donde $U$ es el grupo unitario en dimensión compleja 2, o el conjunto de cuaterniones de norma 1. En otra dimensión (distinta de la 2) el grupo ortogonal especial módulo de su centro es simple.
N. Owad
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Subamos la teoría de los nudos a una dimensión. En general, un $n$ -puede ser anudada de forma no trivial en $\mathbb{R}^{n+2}$ . Obviamente, un $n$ -esfera se puede incrustar en $\mathbb{R}^{n+1}$ donde se suele definir, pero no puede producirse ningún nudo. En $\mathbb{R}^{n+3}$ podemos utilizar la dimensión extra y desanudar cada $n$ -Esfera.
Así, para $n=2$ tenemos que a $2$ -esfera se puede anudar en $\mathbb{R}^{4}$ no se puede anudar en $\mathbb{R}^{3}$ y no tiene interés en $\mathbb{R}^{5}$ ya que sólo hay un tipo de nudo.
Si quieres profundizar en esto, deberías consultar cualquier número de libros estupendos: Rolfsen, Adams, y otros más en los que no estoy pensando en este momento.
Edición: De acuerdo con el comentario de Mike, deberíamos asumir PL o localmente plana aquí.
Gro-Tsen
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Sólo para $n=4$ ¿existe un conjunto abierto $U\subseteq\mathbb{R}^n$ es decir homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ pero no difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ (a pequeño exótico $\mathbb{R}^4$ ). Lo que esto significa no es también difícil de explicar (no es necesario explicar qué es un colector, sólo qué es un homeomorfismo y un difeomorfismo entre subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ ). No creo que pueda calificarse de "poco interesante para $\mathbb{R}^5$ ", aunque (definitivamente no es una trivialidad en cualquier dimensión que no sea $1$ ), pero parece que dices que "falso" también está bien.
