Par de curvas uniendo las esquinas opuestas del cuadrado debe intersectar---la prueba?

Question

Volver a colocar algo que publiqué hace un tiempo a Grupos de Google.

En su "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" (sec. 1.2) V. I. Arnold dice "... cada par de curvas en la plaza de unirse a diferentes pares de las esquinas opuestas debe intersectar".

Esto es obvio geométricamente, pero me preguntaba cómo se podría ir se trata de probar este rigor. He pensado en una prueba de uso de Brouwer del Teorema de Punto Fijo que describo a continuación. Me sería de gran apreciar el grupo comentarios sobre si esta prueba es el adecuado y si una simple prueba es posible.

Tomamos un cuadrado con lado de longitud 1. Deje que las dos curvas se $(x_1(t),y_1(t))$ e $(x_2(t),y_2(t))$ cuando la $x_i$ e $y_i$ son funciones continuas de $[0,1]$ a $[0,1]$. La condición de que el curvas de unirse a diferentes pares de ángulos opuestos implica, $$(x_1(0),y_1(0)) = (0,0)$$ $$(x_2(0),y_2(0)) = (1,0)$$ $$(x_1(1),y_1(1)) = (1,1)$$ $$(x_2(1),y_2(1)) = (0,1)$$

Las dos curvas se intersectan si hay números de $a$ e $b$ en $[0,1]$ tal que

$$p(a,b) = x_2(b) - x_1(a) = 0$$ $$q(a,b) = y_1(a) - y_2(b) = 0$$

Definimos las dos funciones

$$f(a,b) = a + p(a,b)/2 + |p(a,b)| (1/2 - a)$$ $$g(a,b) = b + q(a,b)/2 + |q(a,b)| (1/2 - b)$$

A continuación, $(f,g)$ es una función continua de $[0,1]\times [0,1]$ dentro de sí mismo y por lo tanto debe tener un punto fijo por Brouwer del Teorema de Punto Fijo. Pero en un punto fijo de $(f,g)$ debe ser en el caso de que $p(a,b)=0$ e $q(a,b)=0$ así que las dos curvas se cruzan.

Averiguar lo $f$ e $g$ a uso y comprobación de las condiciones en la el último párrafo es un trabajo tedioso. No puede ser más sencilla prueba?

Answer 1

Desde el pleno de la curva de Jordan teorema es bastante sutil, puede ser vale la pena señalando que el teorema en cuestión se reduce a la de la curva de Jordan teorema de para los polígonos, que es más fácil.

Supongamos por el contrario que las curvas de $A,B$ unirse a las esquinas opuestas no se encuentran. Desde $A,B$ son conjuntos cerrados, su mínima distancia a la que está a unos $\varepsilon>0$. Por compacidad, cada una de las $A,B$ se puede dividir en finitely muchos arcos, cada uno de los cuales reside en un disco de diámetro de $<\varepsilon/3$. Entonces, por un homotopy dentro de cada disco se puede sustituir $A,B$ por poligonal rutas de $A',B'$ que se unen a la las esquinas opuestas de la plaza y todavía son disjuntas.

También, podemos substituir $A',B'$ por simple poligonal rutas de $A'',B''$ por la omisión de los bucles. Ahora podemos cerrar $A''$ a un polígono, y $B''$ va desde el "interior" a "fuera" sin reunión, contrario a la Jordan curva teorema de los polígonos.

Answer 2

ORIGINAL: Esto se deduce del hecho de que el grafo completo $K_5$ en cinco vértices no puede ser incrustada en $\mathbb S^2, $ en sí mismo una aplicación de Jordania Curva. Si los dos cuadrados con curvas, diagonales permanecer en el interior de la plaza sin intersección, un quinto punto, fuera de la plaza se pueden unir a los cuatro vértices distintos arcos, creando así un grafo completo en cinco vértices. Muy buen libro por James Munkres, "Topología: un primer curso", donde, en la página 386 ejercicio 5, que hace el gráfico de cinco vértices. Tenga en cuenta que el concepto de dentro de la plaza de los usos ideas elementales, tales como la convexidad.

EDIT: Como se ha mencionado por Henry Wilton en el comentario de abajo, no pueden ser otras rutas aquí. En particular, tengo un libro de Robin J. Wilson acaba de llamar Introducción a la Teoría de grafos, segunda edición, y en la sección 13, páginas 64-67, en el que se desarrolla la fórmula de Euler para los grafos planares y como corolario muestra que $K_5$ e $K_{3,3}$ son no planas, siendo estos Teorema 13A y el Corolario 13E. Es que nadie sabe si JCT es utilizado implícitamente en la definición de "caras" correctamente para que la fórmula de Euler. No sé.

Answer 3

Esto probablemente debería ir en un comentario, pero no tengo suficientes puntos de reputación.

Tenga en cuenta que hay un par de conjuntos conectados en la plaza que contiene los pares opuestos de las esquinas que no se cruzan. Hay fotos en la referencia abajo.

Robert J. MacG. Dawson, Paradójico Conexiones. La American Mathematical Monthly Vol. 96, Nº 1 (Ene., 1989), pp 31-33. http://www.jstor.org/stable/2323252

Answer 4

Esta es una pregunta muy interesante. Pero sólo implica básica homotopy teoría, no es nada tan sutil como el de la curva de Jordan teorema.

Prueba:

Deje que las rutas de ser parametrizado como $v(t)$, y $w(s)$, $t,s \in I := [0,1]$.

Asumir los caminos nunca se cruzan. A continuación, el mapa de $f : I \times I \to S^1$, dado por $f(s,t) = \dfrac{v(t)-w(s)}{|v(t)-w(s)|}$, está bien definido.

Creo que de $I \times I$ como ser un homotopy entre los caminos

$a_1(t) = \begin{cases} (0, 2t) & 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ (2t-1, 1) & \frac{1}{2} < t \leq 1 \end{casos}$

y

$a_2(t) = \begin{cases} (2t, 0) & 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ (1, 2t-1) & \frac{1}{2} < t \leq 1 \end{casos}$

es decir, los dos componentes del borde de $I \times I$, como rutas de $(0,0) \to (1,1)$.

Entonces podemos ver que $f(a_1(t))$ es una ruta que comienza en el polo norte del círculo, y termina en el polo sur, y se recorre en sentido horario, mientras que el $f(a_2(t))$ comienza y termina de la misma, sino que atraviesa a la izquierda. Ahora $f(I \times I)$ proporciona una homotopy entre estos caminos. Sin embargo, no son homotópica como rutas de acceso en el círculo. Esto le da una contradicción, y por lo tanto las rutas de acceso deben intersectarse.

Answer 5

No es una simple prueba de que un juego de Hex debe haber un ganador, lo que implica el resultado que usted desea.Ver aquí: Brouwer del Teorema de Punto Fijo y el de la Curva de Jordan Teorema, Lema 5.5. El Brouwer teorema de punto fijo y el de la Curva de Jordan teorema de ello se derivan.

Esta prueba se basa en el papel que El Juego de Hex y el Brouwer de Punto Fijo Teorema (por David Gale. La American Mathematical Monthly, Vol. 86, Nº 10. (Dec., 1979), pp 818-827).

Edit: en Realidad la referencia muestra que el Juego de la Hexagonal siempre tiene un ganador => Brouwer teorema de Punto Fijo => un par de curvas en la plaza de unirse a las esquinas opuestas deben intersectarse. Así se hace uso de Brouwer del teorema de punto fijo, pero da una primaria prueba de ello.