Hiperbólico excepcional rellenos de cusped hiperbólico 3-variedades

Question

Thurston del Hiperbólica Dehn Cirugía Teorema dice que todos, pero un número finito de rellenos de una cúspide de una hiperbólica 3-colector resultado en hiperbólico colectores que son deformaciones de la original del colector. Por otra parte, el núcleo de la curva del relleno sólido toro en estos rellenos es una geodésica en el resultado hiperbólico colector.

Normalmente el estudio de excepcional Dehn de la cirugía en hiperbólico de las 3-variedades que se ocupan de la producción de no hiperbólico 3-variedades. Sin embargo, es posible que un hiperbólico colector de que el resultado sin ser una deformación del original. Por ejemplo, un "azar" nudo en un hiperbólico 3-colector de no ser isotópico a una geodésica, aunque es probable que tenga hiperbólico complemento. La parte meridional de llenado de este nudo exterior, entonces sería un excepcional hiperbólico de llenado.

¿Cuál es el número máximo de posibles excepcional hiperbólico rellenos? Lo de colectores en cuenta esta máxima?

Answer 1

Sesenta es un límite superior.

Hodgson y Kerckhoff Universal Hiperbólico Dehn Llenado teorema ("Universal de los límites para la hiperbólica Dehn de la cirugía." Anales de las Matemáticas. 162(1), 367-421) dice que, en una cusped colector, usted puede pulsar el ángulo de cono desde cero todo el camino hasta el $2\pi$ mientras la normalizado de la longitud de la pendiente es de al menos $7.515$. Esto implica que el Dehn de relleno es una hiperbólica Dehn de llenado (es decir, el núcleo es geodésica) cuando la pendiente se ha normalizado longitud grande. Esto excluye a más de 60 pistas.

Answer 2

Voy a adornar en el Otoño de de la respuesta. Experimentalmente, parece que más de uno cusped hiperbólico colectores tienen en la mayoría de los 10 excepcional Dehn rellenos en el sentido de considerar, es decir, los puntos en el complemento de Dehn cirugía espacio. Se cree que Dehn cirugía espacio es en forma de estrella, de modo que uno puede deformar cualquier métrica hiperbólica con la reconstrucción geodésica disminuyendo el ángulo de cono monótonamente a cero, y sin afectar a la estructura singular. Lackenby y Meyerhoff , han demostrado que no son en la mayoría de los 10 que no hiperbólico Dehn rellenos, pero no son capaces de demostrar que estos son deformaciones de la completa métrica en el sentido de Thurston. Sin embargo, su método de la prueba da un poco más. El núcleo de la Dehn de llenado es homotopically no trivial, y el núcleo de la Dehn relleno de mapa en $\pi_1$ es un grupo libre (esto es cierto si el núcleo es geodésicos, ya que el grupo fundamental de la dotación de una colección de geodesics en el espacio hiperbólico es gratis). No estoy seguro de si se confirma esto en el papel, sino que se desprende de la prueba de los 6 teorema. El número de curvado negativamente los empastes también es mucho menor que 60 de la $2\pi$-teorema. Existe la esperanza de que la cruz de curvatura en el caudal de flujo de estos negativamente curva de métricas para la métrica hiperbólica. Si se pudiera hacer esto en el cono, colector de contexto, entonces esto podría permitir una para obtener una nitidez de Hodgson-Kerckhoff.