Monstruoso luz de la luna para $M_{24}$ y K3?

Question

Una pieza importante de la Monstruosa luz de la luna es el j-función,

$$j(\tau) = \frac{1}{q}+744+196884q+21493760q^2+\dots\tag{1}$$

En el papel de "Umbral la luz de la Luna" (2013), página 5, los autores Cheng, Duncan, y Harvey definir la función,

$$H^{(2)}(\tau)=2q^{-1/8}(-1 + 45q + \color{blue}{231}q^2 + 770q^3 + 2277q^4 + 5796q^5+\dots)\tag{2}$$

Fue observada por primera vez en las Notas sobre el 3d de la Superficie y la Mathieu grupo M24 (2010) por Eguchi, Ooguri, y Tachikawa que el primero de los cinco coeficientes de $(2)$ son iguales a las dimensiones de las representaciones irreducibles de $M_{24}$.

Editar (Nov. 23)

Para más información, en el documento citado por J. Harvey a continuación, en la página 44, eqn(7.16) y (7.19), los autores se perdió una pequeña pero crucial signo + $n\in\mathbb{Z^{\color{red}{+}}}$ en la suma:

$$\begin{aligned}h^{(2)}(\tau)&=\frac{\vartheta_2(0,p)^4-\vartheta_4(0,p)^4}{\eta(\tau)^3}-\frac{24}{\vartheta_3(0,p)}\sum_{n\in\mathbb{Z^{\color{red}{+}}}}\frac{q^{n^2/2-1/8}}{1+q^{n-1/2}}\\ &=q^{-1/8}(-1+45q+231q^2+770q^3+2277q^4+\dots)\end{aligned}$$

donde $q = p^2$, nome $p = e^{\pi i \tau}$, Jacobi funciones theta $\vartheta_n(0,p)$, y Dedekind eta función de $\eta(\tau)$.

Preguntas:

1. ¿Alguien sabe cómo calcular el resto de los coeficientes de $(2)$? (La OEIS sólo tiene los primeros nueve.)

2. Para $\tau=\tfrac{1+\sqrt{-163}}{2}$ es $H^{(2)}(\tau)$ algebraicas y trascendentales? Tiene una casa de forma cerrada expresión como $j(\tau) = -640320^3$?

3. Es la aparición de $\color{blue}{231}$ en $j\big(\tau) = -12^3(231^2-1)^3$ una coincidencia? (Tenga en cuenta también que su hermano menor $j\big(\tfrac{1+\sqrt{-67}}{2}\big) = -12^3(21^2-1)^3$ e $M_{23}$ tiene dimensiones de la $1,42,210$.)

4. Asimismo, en $\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(3\tau)}\right)^{12} = -3^5 \left(231-\sqrt{2(-26679+2413\sqrt{3\cdot163})} \right)^{-2}$ donde $\eta(\tau)$ es el Dedekind eta función.

Answer 1

Puedo responder a tu primera pregunta. En arXiv:1208.4074 por Dabholkar, Murthy y Zagier usted puede encontrar una fórmula que implica $H^{(2)}(\tau)= \frac{48 F_2^{(2)}(\tau)- 2 E_2(\tau)}{\eta(\tau)^3}$ donde $E_2(\tau)$ es la cuasi modular de Eisenstein de la serie y $F_2^{(2)}(\tau)= \sum_{r>s>0,r-s\ \mathrm{odd}} (-1)^r s\, q^{rs/2}$ que usted puede utilizar para calcular $H^{(2)}(\tau)$ a cualquier orden que desees. No tengo idea respecto a tus preguntas 2, 3 y 4.